26.12.12

Ângulos de retas e cónicas

Na segunda, tomamos uma cónica e dois feixes centrados em dois pontos da cónica a intersetar-se em outros 4 pontos da cónica que corresponde a fazer a cruzar retas tiradas de dois pontos para os outros quatro (ver definição de cónica por Steiner ou construção de Braikenbridge-McLaurin). Sabemos que os pontos da cónica são intersecções de retas correspondentes em feixes projetivos. Verificamos que são iguais as razões duplas dos dois feixes projetivos assim definidos.

Na figura (actual, não) podíamos fazer variar os pontos visíveis sobre a cónica. Mas sempre podemos fazer outra para agora: br>

Fica assim respondida a pergunta
Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?
deixada na entrada Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos.
A resposta é dada pela observação simples das figuras. O que se mantém é a razão dupla das retas dos feixes que é uma razão dupla (razão de razões dos senos dos ângulos formados por pares de retas).
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

Dois feixes projetivos têm a mesma razão dupla

25.12.12

Feixes perspetivos têm a mesma razão dupla.

Na anterior entrada vimos que a razão dupla (abcd) de quatro retas de um feixe é igual à razão dupla (ABCD) de uma pontual obtida como secção por uma reta r do feixe (A = a.r, B = b.r, C = c.r, D = d.r)
A figura ilustra que são iguais as razões duplas de dois feixes perspetivos (abcd) =(a'b'c'd') que são tais que as retas correspondentes se intersetam em pontos de uma mesma reta.
Seja a.b.c.d={V}, a'.b'.c'.d'={V'} e r que não passe por V nem por V'. Se A=r.a=r.a', B=r.b=r.b', C=r.c=r.c' e D=r.d=r.d', então (abcd)=(a'b'c'd')=(ABCD).


Na figura, pode fazer variar a,b,c,d, r, A,B,C,D. Podia!




  • F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
  • Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
  • H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
  • C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

22.12.12

Razão dupla de quatro retas de um feixe.

(abcd).cdy Tal como fizemos com a definição de razão dupla de quatro pontos colineares, definiremos razão dupla de 4 retas concorrentes num ponto. Lembramos que    (ABCD)= (ACD)/(BCD).
Como na entrada anterior definimos    (abc)= sen(ab)/sen(ac),       para razão dupla das quatro retas  a, b, c, d  concorrentes em    V     tomaremos    (abcd)=(acd)/(bcd)    =     (sen(ac)/sen(ad))  /   (sen(bc)/sen(bd)).
Na construção abaixo, consideramos um ponto    V     para centro do feixe de retas    a, b, c, d,     um sentido representado no arco vermelho, duas retas    r     e    r'     e respetivas pontuais obtidas por secção do feixe    (A=a.r, ..., A'=a.r', ...).



Pode fazer variar   a,  b, c, d,  r  e  r'  na figura.


Ficam ilustrados vários resultados:
  1. quando a=b,  (abcd)=1; quando a=c,  (abcd)=0 ; quando a=d,  (abcd)=±∞
  2. (abcd)=(ABCD),  já que, como vimos antes,  (acd).(VC/VD)=(ACD)  e  (bcd).(VC/VD)=(BCD)  e, dividindo ordenadamente,  (acd)/(bcd)=(ACD)/(BCD)
  3. (ABCD) = (A'B'C'D') = (abcd)
  4. ....



  • F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
  • Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
  • H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
  • C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

21.12.12

Razão simples de 3 retas de um feixe.

(abc).cdy Definimos recentemente a razão simples uma pontual de três pontos  A, B, C  incidentes numa reta  r=ABC  tendo escolhido uma orientação (positiva) :  (ABC) = AB/AC  (segmentos orientados da mesma direção  r,  no caso  AB=B-A  é positivo se  A  está à esquerda de  B).
Dualmente, terá sentido falar de razão simples de um feixe de três retas  a, b, c  incidentes num ponto comum  V=a.b.c  tendo escolhido uma orientação em torno desse ponto?
Na construção que se segue, temos um ponto  V, um sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, três retas  a, b, c  incidentes em  V.
Definimos a razão simples de  a, b, c  do seguinte modo:
 (abc)=sen(ab)/sen(ac), em que   (ab)   e  (ac)   são ângulos orientados de duas retas, sempre que   <)ab   está entre    e  180ºsen(ab) ≥ 0  e sempre que está entre  180º  e  360º,  sen(ab) ≤ 0  o que dá para efeitos da razão simples os mesmos valores caso considerássemos   <)ab   entre   -180º  e  .
 (abc) = sen(ab)/sen(ac)  tem comportamento semelhantes a  
  1.  (ABC) = AB/AC:
  2. quando  a = b,  (abc) = 0
  3. quando  a = c,  (abc) = ±∞
  4. quando  a<  está entre   b   e  c,  (abc)<0
  5. ...
Na construção abaixo, também considerámos uma secção por uma reta  r  não incidente em   V:
  A = a.r,  B = b.r,  C = c.r,
podendo constatar que a razão simples  (ABC)  não é igual à razão simples  (abc)  e que  (ABC)  varia com  r.



Pode fazer variar  a, b, c  e  r  na figura.


Ao fundo da construção estão ilustrados os resultados da lei dos senos e permitem estudar a relação entre  (abc)  e  (ABC):
Ilustra-se na figura que  AB  / sen(ab) = VB / sen(ar).
Do mesmo modo será  AC / sen(ac) = VC / sen(ar)  e, em consequência,  sen(ab) = VB  e  AC / sen(ac) = VC  e  (AB / AC) = (sen(ab) / sen(ac)) . (VB / VC).
Conclui-se assim que:
(ABC) = (abc) . (VB / VC)
(ABC) = (abc)  sse   VB =VC. (ABC) = (abc)  sse   VB =VC.

  • F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
  • Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
  • H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
  • C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

18.12.12

Razão dupla de 4 pontos colineares. Abcissa projetiva

(PABC).cdy Na última entrada, definimos razão simples de três pontos colineares sobre uma dada reta: (ABC)=AB/AC, sendo AB e BC segmentos orientados, e tomámos como abcissa (baricêntrica) de P relativamente a dois pontos fixos A e B a razão simples λ=(PAB)=PA/PB.
Ao tomarmos quatro pontos colineares A,B,C,D, consideramos a razão das razões simples de cada um dos dois primeiros A e B relativamente aos outros dois C e D, a que chamamos razão dupla:
k=(ABCD)=(ACD)/(BCD)= (AC/AD):(BC/BD)
Esta razão já foi abordada em várias ocasiões, chamando-lhe razão cruzada (a,b;c,d), por exemplo, tendo verificado que se mantém invariante por transformação projetiva. Aqui estamos a seguir Izquierdo Asensi para a introduzir como razão (dupla ou anarmónica) de razões simples. Já abordámos antes, que a um conjunto de quatro pontos {A, B, C, D} correspondem 24 quaternos ordenados distintos, mas só seis valores distintos para as razões duplas ou cruzadas associadas.
À semelhança do que fizemos para a razão simples, apresentamos uma construção com uma reta r e sobre ela três pontos A, B, C fixos e um ponto P variável, para "ver" que a cada posição X do ponto P corresponde um só valor da razão k=(XABC) e que a cada valor de k corresponde uma só posição X de P.
Assim, ao valor k associado à posição de P relativamente a A, B e C é natural que chamemos abcissa projetiva de P, chamando a A, B e C pontos de referência: unidade, origem e limite, por serem os pontos para os quais k é (AABC)=1, (BABC)=0 e (CABC)=∞ como pode "ver" deslocando P sobre a reta r

Pode deslocar  P  manualmente (ou usando o controlador da animação).



Ao abrir esta entrada, o ponto  P  está numa posição tal que  (PABC)=-1.  Estas posições relativas e a respetiva razão foram sempre associadas à palavra harmónica. O primeiro par  (P,A)  separa ou divide harmonicamente o segundo par  (B,C).


14.12.12

Razão simples de 3 pontos. Abcissa baricêntrica.

Em muitas entradas ao longo dos anos abordámos problemas com razões de segmentos e coordenadas. Do estudo de geometria projetiva que nos ocupou nos últimos meses, nas entradas de Julho de 2012, estudámos as razões cruzadas, os cálculos com abcissas ilustrando as relações entre as construções euclideanas e projetivas, a invariância de razões pelas transformações projetivas; pontos e retas do infinito. São elas: Servimo-nos de abcissas na reta orientada (confundindo pontos com as suas abcissas e tomando pontos para representar a origem ou a abcissa 0, e pontos da reta para representar pontos no inifinito, etc) e/ou distâncias... Não nos referimos propriamente a coordenadas (para além das abcissas primordiais em que a cada ponto fazíamos corresponder um só número real).
Nesta entrada, voltamos aos pontos da reta orientada para, de outro modo, associar pontos a números (suas coordenadas na reta) e dar novos sentidos ao que chamamos pontos no infinito.
Comecemos por tomar uma reta r e consideremos o sentido da esquerda para a direita (como se mostra na figura com a seta a verde +) e sobre ela três pontos A, B, P. Pensemos nas diferenças A-B=BA (abcissa de A subtraída da abcissa de B num mesmo referencial qualquer de r) e B-A=AB. Claro que, nessas condições,
  1. quando escrevemos A-B estamos a pensar num número positivo quando A está à direita de B e num número negativo quando A está à esquerda de B
  2. BA+AB=(A-B)+(B-A)=(B-A)+(A-B)=AB+BA=0.
Se tivermos três pontos A, B, C podemos considerar várias diferenças. A-B, B-A, A-C, C-A, B-C e C-B.
E toma sentido pensar em razões entre as diferenças umas mais interessantes que outras
(A-B)/(B-A)=(A-C)/(C-A)=(B-C)/(C-B)=-1 ou, por exemplo,
(A-B)/(A-C), (B-A)/(B-C) ou (C-A)/(C-B) que designamos por
razões simples de 3 pontos e representamos por (ABC), (BAC) ou (CAB) respetivamente. Na construção a seguir, temos uma reta r, um sentido + e três pontos A, B, P sobre r.
E, supondo A e B fixos, debruçamo-nos sobre a razão (PAB) simples dos 3 pontos a que chamamos λ, (P-A)/(P-B). A abrir λ=2 com um significado bem preciso: PA=2.PB.
O que se recomenda é que verifique como variam os valores de λ quando variam as posições de P.

Pode deslocar A e B sobre r.
Pode deslocar P manualmente (ou usando o controlador da animação).

Mantendo as posições de A e B, verá que
  • para cada posição de P há um só valor de λ associado;
  • λ toma valores negativos quando P está situado entre A e B já que (P-A) e (P-B) têm sinais contrários;
  • λ toma valores positivos quando P não está entre A e B, já que (P-A) e (P-B) têm o mesmo sinal;
  • λ toma o valor 0 só quando P toma a posição de A já que P-A=0 e, em valor absoluto será tão grande quanto queira (±∞), só quando P se aproxima da posição de B (até P-B=0);
  • |λ|=1 quando P toma uma posição a igual distância de A e de B e |λ|<1 ou |λ|>1 conforme P está à esquerda ou direita dessa posição.
Quando P percorre o intervalo entre A e B, λ toma todos os valores negativos de 0 a -∞. Por fora do intervalo limitado A a B, às posições de P correspondem todos os números positivos de +∞ a 0 ou de 0 a +∞ para λ. λ=-1 quando PA=-PB ; λ=1 quando PA=PB (fora do intervalo) que é o ponto impróprio da reta r. Dados A e B, tem sentido falarmos de λ=(PAB) como coordenada ou abcissa de P. Não tem?
Izquierdo Asensi chama-lhe abcissa baricêntrica, sendo A e B os pontos fundamentais de referência, por ser 0 e ∞ os valores das suas respetivas abcissas baricêntricas.
Se P se afasta infinitamente pela direita ou pela esquerda, a abcissa baricêntrica tomará um valor λ=(PAB)=+1 para uma única posição de P. Fica assim lustrado que uma reta não tem mais que um ponto impróprio (ou um ponto no infinito)

Tem interesse lembrar que
(PBA)=(P-B)/(P-A)= 1:[(P-A)/(P-B)] = (PBA)-1

Richter-Gebert. Perpsectives on Projective Geometry. Springer. Berlin:2011
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994
C.F. Klein, Elementary Mathematics from an advanced standpoint - Geometry Dover Publications, inc. New York:2004

8.12.12

Cónica, quadrilátero circunscrito e triângulo auto-polar

Na entrada Uma polaridade, uma cónica fixámos o seguinte: Ao lugar geométrico dos pontos auto-conjugados numa dada polaridade chamamos cónica. E às polares dos pontos auto-conjugados chamaremos tangentes à cónica. Fica assim estabelecida uma definição de cónica como figura auto-dual: lugar geométrico dos pontos auto-conjugados de uma polaridade e envolvente das retas auto-conjugadas.
Na entrada Construção de uma polaridade (cónica) com um triângulo auto-polar e um ponto auto-conjugado construímos uma polaridade (ABC)(Pp) em que ABC é um triângulo autopolar e P é um ponto autoconjugado (P inicide na sua polar p; p inicide no seu polo P)
Na entrada Da cónica para a polaridade associada retomámos o resultado já antecipado se os vértices de um quadrângulo PQRS completo forem pontos auto-conjugados para uma dada polaridade, então o triãngulo diagonal ABC do quadrângulo é um triângulo auto-polar para concluirmos que é auto-polar o triângulo diagonal ABC de um quadrângulo qualquer PQRS de vértices incidentes numa cónica .
Embora tenhamos tido sempre presente que uma cónica é a envolvente da retas autoconjugadas para uma dada polaridade, nunca nos preocupámos em definir o triângulo auto-polar para o quadrângulo circunscrito. Bastou-nos mostrar que é auto-polar o triângulo diagonal de um qualquer quadrângulo completo de vértices autoconjugados (pontos da cónica) (quadrivértice inscrito na cónica) para continuar o estudo.
No seu livro "Geometria Descriptiva Superior y Aplicada", sob o título Cuadrivértice y cuadrlátero inscrito y circunscrito a una cónica Fernando Izquierdo Asensi trata de dois enunciados:
  1. En todo cuadrivértice inscrito a una cónica, su triángulo diagonal es autopolar respecto a la cónica
  2. En todo cuadrilátero circunscrito a una cónica, los puntos de intersección de sus diagonales y de los pares de lados opuestos son vértices de un triángulo autopolar respecto a la cónica.
E é por isso que decidimos voltar a abordar a polaridade induzida por cada cónica.
A respeito de quadrângulos, lembramos a entrada Para escrever sobre quadriláteros (completos) em que esclarecíamos as noções de quandrângulos completos onde se pode ler:
  1. o conjunto formado por quatro pontos {A,B,C,D}, dos quais não há 3 colineares, (vértices) e pelas 6 retas {AB,AC,AD,BC,BD,CD} definidas pelos pares de pontos existentes, a que chamamos lados. Dois lados consideram-se opostos quando se intersetam em pontos que não A, B, C, D, ou seja, em pontos que não são vértices, no caso, E,F,G. Esses 3 pontos tomam o nome de pontos diagonais
  2. o conjunto formado pelas quatro retas {a,b,c,d}, das quais não há 3 incidentes num ponto,(lados) e pelos 6 pontos {a.b,a.c,a.d,b.c,b.d,c.d} definidos pelos 6 pares de retas existentes a que chamamos vértices. Dois vértices consideram-se opostos quando definem uma reta que não é qualquer dos 4 lados a,b,c ou d, a saber, a.d e b.c, a.c e b.d, a.b e c.d. As retas definidas por vértices opostos chamam-se retas diagonais, no caso, e,f,g.
A construção do quadrângulo completo inscrito na cónica para definir a polaridade associada já foi abordada repetidas vezes.
Vamos apresentar a construção do quadrângulo completo circunscrito à cónica e respetivo triângulo auto-polar.
Na construção que se segue, temos quatro retas t, u, v, w tangentes à cónica respetivamente em T, U, V, W (que é o mesmo que dizer que T é o polo de t ou que t é a polar de T, etc ). Essas quatro retas autoconjugadas intersetam-se duas a duas em P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u; A=u.w, B=t.v e C=PQ.RS (vértices). O quadrilátero completo considera ainda as retas definidas pelas interseções pelos pares de pontos de intersecção de lados opostos, a saber a=BC, b=AC e c=AB que se chamam retas diagonais e formam o triângulo diagonal.
Para este triângulo ABC ser auto-polar foi preciso garantir que TV.UW=PQ.RS=C, já que B está sobre a polar de V também b (polar de B) tem de passar por V, etc Na figura, ainda indicamos a polar de P=u.v que é p=UV, Q=t.w que é q=TW, de S=t.u que é s=TU, de R=v.w que é r=VW.

Poderá deslocar os pontos T e U sobre a cónica e B so.bre t

Para esta construção do triângulo autopolar de um quadrilátero em que os 4 lados são tangentes de uma cónica, começamos por tomar as tangentes t, u nos pontos T e U. Por um ponto B de t tirámos a tangente v à cónica. E a tangente w no segundo ponto de intersecção da reta BU com a cónica. Marcámos A=u.w, P=u.v, Q=t.w, R=v.w e S=t.u
Do feixe centrado em B, a e c são conjugadas harmónicas de t e v e como estas últimas são retas duplas (tangentes) a e c são conjugadas para a polaridade. O mesmo acontece com o feixe centrado em A, b e c são conjugadas harmónicas com u e w que são retas duplas (tangentes). São conjugadas as retas a com c e b com c. Os lados do triângulo abc são conjugados dois a dois, o que é o mesmo que dizer que cada vértice é polo do lado oposto: A=b.c é polo de a=BC, B=a.c é polo de b=BC e C=a.b é polo de c=AB. Das quatro retas a, c, v, t do feixe centrado em B, os seus polos A, C, V e T terão de pertencer à polar de B, b, isto é, AC=TV. De modo análogo, se verifica que BW=UW.
F. I. Asensi, Geometria Desscriptiva Superior y Aplicada. Editorial Dosssat, S.A. Madrid:1980
H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

4.12.12

Feixes projetivos no círculo e congruência de ângulos

Na anterior entrada demonstrámos que uma circunferência euclideana é uma cónica projetivamente falando (lugar geométrico dos pontos de interseção de retas correspondentes de dois feixes projetivos, não perspetivos).
Na construção que se segue A, B, C, P, Q são pontos da circunferência. Traçámos também as retas PA=a, PB=b e PC=c do feixe centrado em P e as respetivamente correspondentes QA=d, QB=e e QC=f do feixe centrado em Q Como já vimos, a correspondência a→d, b→e, c→f é uma projetividade. Considerados o par de ângulos APB ou ângulo das retas <)ab e <)de ou AQB, sabemos que são congruentes por serem ângulos inscritos num mesmo arco de uma mesma circunferência.
<)ab=<)de, <)bc=<)ef, <)ac=<)df
Sendo A, B, C, P e Q concíclicos, há uma projetividade entre feixes associando os pares de retas PA→QA, PB→QB e PC→QC e associando como congruentes os pares de ângulos de retas correspondentes APB=AQB, BPC=BQC e APC=AQC.



Poderá deslocar qualquer dos pontos sobre a circunferência.

Será que esta congruência de ângulos para pares de retas correspondentes em feixes projetivos que definem a cónica circunferência, acontece para todas as cónicas?



H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994

1.12.12

A circunferência é uma cónica :-)

Em termos de geometria projetiva, definimos cónica como lugar geométrico dos pontos auto-conjugados para uma dada polaridade ou como o lugar geométrico dos pontos de intersecção de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos.
Interessante é responder à pergunta: Uma qualquer das cónicas que definimos euclideanamente, com recurso a distâncias, será uma cónica projetivamente falando? Será uma circunferência euclideana uma cónica projetivamente falando?
N construção que se segue, está desenhada uma circunferência em que APBQC são vértices consecutivos de um hexágono regular nela inscrito.
É claro que AQ.PC=R (centro da circunferência considerada), AB é mediana do triângulo equilátero APR e BC é mediana de CQR. Tomamos também um diâmetro variável (a verde) que interseta AB em M e BC em N. E tomamos PM.QN=X (variável com o diâmetro MN)


Na construção dinâmica em Cinderella, lia-se:
Pode deslocar X movimentando o diâmetro verde.
Pode controlar a animação do diâmetro (e de X)
nos botões do controlador à esquerda.

------ construção dinâmica com Geogebra ------

  1. Euclideanamente falando:

    Por PQR ser um triângulo equilátero, AB é mediatriz de PR (PM=MR) e também é bissetriz de PAR (BAP=BAR). Daí, para ângulos, podermos concluir que XPA=MPA=ARM. Ora ARM=QRN e, por razões análogas às consideradas para o triângulo APR, NQR=NRQ. Podemos, assim, concluir que XPA=XQA. sendo P e Q pontos da circunferência dada, para além de A e C (proposição 21 do livro 3 dos Elementos) Do triângulo isósceles PMR, o ângulo externo XMN=2(60º-APX)=120º-2.APX. E como o ângulo externo XNM do triângulo isósceles QRN é 2.APX, o ângulo MXN é 60º (120-2APX+2APX+MXN= 120+MXN=180º, MXN=60º) Do quadrilátero XPBQ em que PBQ são pontos da circunferência, sabemos agora que o ângulo X=60º se opôe ao ângulo PBQ=120º e XPB=120-APX enquanto o seu oposto XQB=60º+APX, ou seja, é um quadrângulo em que os ângulos opostos somam 2 retos e 3 dos seus vértices estão sobre uma dada circunferência (proposição 22 do livro 3 dos Elementos). E, assim, podemos concluir que, pela definição euclideana o lugar geométrico dos pontos X é a circunferência que passa pelos pontos A,P, B, Q.
  2. Projetivamente falando:
    Com o diâmetro variável, o conjunto das retas PM constituem um feixe centrado em P e, do mesmo modo, as retas QN constituem um feixe de retas centrado em Q. Estes dois feixes são projetivos não perspetivos ( verifique que quando PM=PA, é QN=QA e X=A; quando PM=PC, é QN=CQ, X=B=N; etc (construção de Braikenbridge-Mclaurin), isto é, os pontos de intersecção das retas correspondentes pela projetividade que os associa determina uma cónica única que passa pelos pontos A, B, C, P, Q da circunferência). O lugar geométrico dos pontos X (intersecções de retas correspondentes de dois feixes projetivos não perspetivos) é uma cónica única definida projetivamente que coincide com a circunferência inicialmente definida euclideanamente.

H. S. M. Coxeter, Projective Geometry, Springer. NY:1994