Projetividade entre conjuntos harmónicos

Vamos provar que: quaisquer dois conjuntos harmónicos de 4 pontos colineares ou quatro retas concorrentes estão relacionados por uma única projetividade.
Construímos dois conjuntos harmónicos um (AA,BB,CF) sobre r e outro (A'A',B'B', C'F') sobre s. Verificam-se as relações harmónicas H(AB,CF) e H(A'B',C'F'). A projetividade determinada por ABC e A'B'C', de que determinámos o eixo (AC'.A'C)(BC'.B'C), transforma F num outro ponto, seja F''. Para determinar este ponto sobre s traça-se, por exemplo, FB' e toma-se o ponto dessa reta que está no eixo, seja M. F'' será a interseção de BM' com s. Como as projetividades transformam conjuntos harmónicos em conjuntos harmónicos e o conjugado harmónico de C' é F' relativamente a A'B' e é único, forçosamente a projetividade que leva de A a A', B a B' e C a C' leva de F para F'. Ou seja F''=F'
Se H(AB,CF) e H(A'B',C'F'), a projetividade que faz corresponder A a A', B a B' e C a C' obrigatoriamente transforma F em F'. O ponto que é imagem de si mesmo toma o nome de ponto duplo (F=F'=r.s) Deste resultado se tira que há uma projetividade que relaciona duas redes harmónicas ou de racionalidade, bem como duas sequências harmónicas. O mesmo raciocínio pode ser usado para a projetividade estabelecida entre dois feixes harmónicos distintos, pois ao intersetarmos cada um deles por uma reta caímos no caso das pontuais. De um modo geral, uma projetividade entre feixes (abf por R e a'b'f' por S) é uma perspetividade se e só se houver uma reta de ambos os feixes for transformada em si mesma, isto é, f=f'=RS. Esta reta que é imagem de si mesma toma o nome de reta dupla.