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13.2.12

Projetividade entre quaisquer duas pontuais?

Será que entre duas pontuais A,B,C de r e D,E,F de s (quaisquer) se pode estabelecer uma correspondência biunívoca que seja uma projetividade?
Pode. Tomemos os feixes de retas AD, AE e AF (por A) e DA, DB e DC (por D) e a reta GH (=o) em que G=AE∩DB e H=AF∩DC. E tomemos I=AD∩GH. Ficam assim construidas duas perspetividades: uma que transforma a pontual A,B,C de r a pontual I,G,H de o (secções por r e o do feixe de retas incidentes em D) e outra que transforma a pontual I,G,H de o na pontual D,E,F de s (secções por o e s do feixe de retas incidentes em A).
A o chamamos eixo da projetividade que transforma a pontual A,B,C de r na pontual D,E,F de s. Escrevemos
ABC → IGH → DEF

Para cada ponto X de r, o correspondente em s, pela projetvidade assim definida, será o ponto X'' de incidência comum a AX' e s, em que X' é o ponto de incidência comuma a DX e o.

Fica assim provado que há sempre uma projetividade que transforma uma pontual ABC noutra DEF (determinada como composta de duas perspetividades). Ficará por provar que é única. Para isso, bastará verificar que qualquer sequência de perspetividades relacionando ABC com DEF terá sempre o mesmo efeito sobre X.
Será que há sempre uma projectividade entre duas pontuais de 4 pontos?

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