4.1.12

Pavimentações do plano com ladrilhos regulares: quadrados e octógonos, com vértices da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares: quadrangulares e octangulares, sendo os vértices da espécie 4.8.8 ou, dito de outro modo, cada vértice é comum a um quadrado e a dois octógonos (1x90+2x135=360)






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

3.1.12

Pavimentações do plano com triângulos quadrados e hexágonos regulares e vértices todos da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações com ladrilhos regulares, ambas com ladrilhos triangulares, quadrangulares e hexagonais. Cada vértice é vértice de um triângulo, de dois quadrado e de um hexágono (1x60+2x90+1x120=360). Da primeira, todos os vértices são da mesma espécie e, vistos por uma determinada ordem circular, os polígonos aparecem sempre 3.4.6.4 (são do mesmo tipo). Da segunda, todos os vértices são da mesma espécie, mas, vistos por uma determinada ordem circular, uns são 3.4.4.6 e outros 3.4.6.4. Neste caso, todos os vértices são da mesma espécie, não sendo do mesmo tipo.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

2.1.12

Pavimentações do plano com triângulos, quadrados, hexágonos e dodecágonos com vértice da mesma espécie

Nesta entrada, apresentamos pavimentações de ladrilhos regulares, uma com ladrilhos triangulares e dodecagonais e outra com ladrilhos quadrangulares, hexagonais e dodecagonais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira das pavimentações, cada vértice é vértice de um triângulo e de dois dodecágonos (1x60+2x150=360) ou seja todos os vértices são da espécie 3.12.12. Na segunda, todos os vértices são da espécie 4.6.12, o que quer dizer que, ligados a cada vértice há um quadrado, um hexágono e um dodecágono(1x90+1x120+1x150 =360).






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

1.1.12

Pavimentações do plano por triângulos e quadrados com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares com ladrilhos triangulares e quadrilaterais regulares e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Nestas pavimentações, cada vértice é vértice de três triângulos e de dois quadrados (3x60+2x90=360). Na primeira, todos os vértices são da espécie 3.3.3.4.4. Distingue-se a segunda da primeira, vendo que todos os vértices são da espécie 3.3.4.3.4, o que se pode perceber observando as ilustrações.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por triângulos e hexágonos regulares com vértices da mesma espécie

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares, triangulares e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, cada vértice é vértice de dois triângulos e de dois hexágonos, e é por isso que dizemos que todos os vértices são da mesma espécie 3.6.3.6 (2x60+2x120=360). Na segunda, cada vértice é vértice de 4 triângulos e 1 hexágono, sendo todos os vértices da mesma espécie 3.3.3.3.6 (4x60+1x120=360).






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho dos ladrilhos.

28.12.11

Pavimentações do plano por polígonos regulares (triângulos e hexágonos)

Apresentamos, nesta entrada, pavimentações com ladrilhos regulares: triângulos e hexágonos e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum. Na primeira destas pavimentações, há vértices rodeados por dois triângulos e de dois hexágonos (2x60+2x120=360) e vértices rodeados por 3 hexágonos (3x120=360). Na segunda, cada um dos vértices está rodeado por dois triângulos e dois hexágonos (2x60+2x120=360).
Ter vértices da mesma espécie é uma propriedade de que gozam infinitas pavimentações e é mantida sempre que o padrão é obtido por translações, aplicadas a um friso, associadas a um dado vetor independente daquele que está associado ao friso.






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

Pavimentações do plano por polígonos regulares sem lados comuns

Apresentámos inicialmente pavimentações regulares com um só tipo de ladrilho poligonal e em que dois ladrilhos ou não se intersetam ou quando se intersetam o fazem num vértice comum ou num lado comum.
Apresentamos, nesta entrada, pavimentações em que os ladrilhos são polígonos regulares mas em que acontece não haver dois com lados comuns. No caso, geradas usando meias voltas, uma com triângulos equiláteros e hexágonos regulares (pgg) e outra com 2 quadrados diferentes(p4g)






Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

24.12.11

o geometrias está a entrar no oitavo ano...



... de grandes festas. BOAS FESTAS.

Pavimentações do plano por polígonos irregulares

De entre as pavimentações apresentados em entradas anteriores, encontram-se vários exemplos de pavimentações, com um só tipo de ladrilhos, uns côncavos outros convexos. De entre estes últimos, destacamos os retângulos que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos retangulares tomam o nome de pavimentações irregulares.

Qualquer triângulo pavimenta o plano. E também um quadrilátero qualquer pavimenta o plano (padrão p2) como pode ver-se. Já o hexágono irregular pavimenta se tiver um centro de simetria (de novo, padrão p2). Apresenta-se ainda um caso notável de pavimentação do plano conhecida por pavimentação "Cairo". Pentágonos equiláteros não regulares pavimentam o plano, já que quatro desses pentágonos formam um hexágono irregular com um centro de simetria.










Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos. Deslocar o ponto vermelho permite verificar a simetria de meia volta da pavimentação por hexágonos irregulares.

23.12.11

Pavimentações regulares de polígono regulares iguais

De entre as pavimentações apresentados nas entradas precedentes, encontram-se vários exemplos de pavimentações (com um só tipo de ladrilhos) de entre os quais destacamos os quadrados (p4m) que pavimentam. Pavimentações como essa de ladrilhos quadrados tomam o nome de pavimentações regulares em que cada vértice é vértice de 4 ângulos retos (4x90=360) ou de 4 quadrados (todos os vértices são da mesma espécie 4.4.4.4).
Nestas pavimentações, podemos chamar vértices da pavimentação aos vértices dos ladrilhos.
Claro que um triângulo equilátero (e equiangular) pavimenta o plano. Cada vértice de um ladrilho (triangular regular) é vértice de seis ladrilhos ou vértice de 6 ângulos de 60 graus (6x60=360) ou vértice de 6 triângulos regulares (todos os vértices são da mesma espécie 3.3.3.3.3.3)
Também o hexágono regular pavimenta o plano. Cada vértice de um ladrilho hexagonal regular é vértice de 3 ângulos de 120 graus (ângulo interno do hexágono regular)(3x120=360) ou é vértice de 3 hexágonos regulares (todos os vértices são da mesma espécie 6.6.6) .
O mesmo não podemos dizer do pentágono regular que tem um ângulo interno de 72 graus e 360 não é múltiplo de 72.







Deslocando os pontos a verde, em cada figura dinâmica, pode mudar o tamanho e a orientação dos ladrilhos.

19.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 6

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 6 (e consequentes simetrias de rotação de grau 2 e 3).

GRAU 6

p6


Sem eixos de simetria

p6m


Com eixos de simetria

15.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 3

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 3 apenas.

GRAU 3

p3

Sem eixos de simetria



p3m1

Todos os centros de grau 3 estão em eixos de simetria

p31m

Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 3

14.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 4

Apresentamos ilustrações dos grupos que só admitem simetrias de rotação de grau 4 (e consequentes simetrias de meia volta, compostas de rotações de 90º).

GRAU 4

p4

Sem eixos de simetria



p4m

Um eixo de simetria passando por centros de grau 4

p4g

Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 4

11.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau ≤ 2

Apresentamos ilustrações dos grupos que não admitem simetrias de rotação de grau superior a 2.

SÓ CENTROS DE GRAU 2

p2

Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante

cmm

Alguns dos centros das meias voltas não estão sobre eixos de simetria

pmm

Todos dos centros das meias voltas estão sobre eixos de simetria

pmg

Os eixos de simetria são todos paralelos


pgg

Não há eixos de simetria. Há simetrias de reflexão deslizante

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção