A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

19.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 6

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 6 (e consequentes simetrias de rotação de grau 2 e 3).

GRAU 6

p6


Sem eixos de simetria

p6m


Com eixos de simetria

15.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 3

Apresentamos ilustrações dos grupos que admitem simetrias de rotação de grau 3 apenas.

GRAU 3

p3

Sem eixos de simetria



p3m1

Todos os centros de grau 3 estão em eixos de simetria

p31m

Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 3

14.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau 4

Apresentamos ilustrações dos grupos que só admitem simetrias de rotação de grau 4 (e consequentes simetrias de meia volta, compostas de rotações de 90º).

GRAU 4

p4

Sem eixos de simetria



p4m

Um eixo de simetria passando por centros de grau 4

p4g

Um eixo de simetria não passa por quaisquer dos centros de grau 4

11.12.11

Simetrias dos padrões do plano, simetrias das pavimentações - rotações de grau ≤ 2

Apresentamos ilustrações dos grupos que não admitem simetrias de rotação de grau superior a 2.

SÓ CENTROS DE GRAU 2

p2

Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante

cmm

Alguns dos centros das meias voltas não estão sobre eixos de simetria

pmm

Todos dos centros das meias voltas estão sobre eixos de simetria

pmg

Os eixos de simetria são todos paralelos


pgg

Não há eixos de simetria. Há simetrias de reflexão deslizante

10.12.11

Grupos de simetrias dos padrões do plano e simetrias das pavimentações- GRAU 1

Como podemos facilmente verificar uma parte das ilustrações dos grupos de simetrias do plano apresentadas como padrões de papel de parede ilustram diferentes pavimentações do plano (para a definição feita na entrada anterior). Para além de outras, assim acontece com as últimas ilustrações dos exercícios de identificação (tendo F como motivo mínimo), publicados recentemente. Em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, o estudo dos grupos de simetria do plano (que antecede o estudo das pavimentações) é concluído com uma síntese da tabela classificativa dos padrões do plano, usando como ilustração de cada grupo uma pavimentação do plano.
Pensamos que, para a classificação dos 17 padrões do plano pode ser uma grande ajuda rever a tabela algorítmica acompanhada destas ilustrações. E é um bom começo para estudar pavimentações poligonais do plano. Como se sabe, estas classificações foram feitas tomando por base que um padrão do plano tem sempre no seu grupo de simetrias, translações associadas a dois vetores u e v independentes ou associadas a m.u+n.v, com m e n inteiros e as restrições no que respeita às simetrias de rotação. A rotação de grau 1, identidade - rotação de 360.k graus com k inteiro, está sempre presente em todos os padrões, mas, para além dessa,m grupos de simetria de padrões do plano, só são admissíveis rotações de grau 2 (180.k ou meias voltas), de grau 3 (120.k), de grau 4 (45.k) e as de grau 6 (60.k).

Começamos com as ilustrações dos grupos que não admitem rotações de grau superior a 1. Assim:

ROTAÇOES DE GRAU 1

p1

Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante

cm

Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); alguns dos eixos de (rd) não são espelhos

pm

Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); todos eixos de (rd) são espelhos

pg

Sem simetrias de reflexão, mas com simetrias de reflexão deslizante.

Voltamos a lembrar que em todos os grupos de simetrias dos padrões dos planos há simetrias de translação...

9.12.11

Pavimentação com regiões poligonais

Chamamos região poligonal(referida como polígono) a uma região contendo a sua própria fronteira, sendo esta uma linha poligonal fechada ou conjunto de segmentos de reta em que cada um dos extremos de um dos seus segmentos é extremo de outro segmento do conjunto. Dizemos que um conjunto P de polígonos {Pn: n ∈N} é uma pavimentação do plano quando, para cada ponto do plano existe pelo menos um polígono de P que o contém e, no caso de um ponto pertencer a mais que um polígono, está sobre a fronteira comum aos polígonos que o contêm. Dito de outro modo, a reunião dos polígonos de P é o plano e são vazias as interseções de interiores de polígonos de P. Chamamos interior de um polígono Pn ao conjunto dos seus pontos que não estão na fronteira.


As próximas publicações tratam de pavimentações poligonais. Natural é que, numa pavimentação, chamemos ladrilhos aos polígonos que a compõem e que as classificações (e a terminologia) associadas aos polígonos sejam usadas no estudo das pavimentações.

3.12.11

Exercícios de identificação (11)




(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)
Pensamos ter resolvido bem estes exercícios, mas, ... quem sabe?

1.12.11

Exercícios de identificação (10)




(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

29.11.11

Exercícios de identificação (9)




(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

27.11.11

Exercícios de identificação (8)




(exercícios propostos em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982)

25.11.11

Exercícios de identificação (7)



22.11.11

Exercícios de identificação (6)



21.11.11

Exercícios de identificação (5)



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção