A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

31.10.11

Simetrias do plano - webibliografia

Algumas fontes sobre isometrias e simetrias do plano

  1. Algumas ligações úteis
    1. Symmetries of Culture- Donald Crowe
    2. http://euler.slu.edu/escher/index.php/Wallpaper_Patterns#Wallpaper_Patterns
    3. http://www.oswego.edu/~baloglou/103/seventeen.html
    4. http://clowder.net/hop/17walppr/17walppr.html
    5. Atractor - Simetrias
    6. Eduardo Veloso - GSP
    7. Eduardo Veloso
    8. Lopes, Isabel Cristina da Silva; GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS E ORBIFOLDS EUCLIDIANOS BIDIMENSIONAIS. Dissertação de Mestrado (usar pesquisa simples pelo título). Porto:2009
    9. Brochura de Geometria NPMEB
    10. Bibliografia sobre transformações geométricas e Simetria APM/ESE Lisboa

  2. Alguns livros
    1. Martin,G.E. Transformatio Geometry - An. Introduction to Symmetry A.M.S.Springer- Verlag, N.York:1982
    2. Veloso, E. Geometria: Temas actuais ME / IIE, Lisboa:1998
    3. Bellingeri P., Dedò M., Di Sieno S., Turrini C. O ritmo das formas (Trad. Maria Pires de Carvalho) Atractor. Porto:
    4. Gómez, R P., Vivo La Alhanbra,Proyecto Sur de Ediciones, S.AL., Granada:1990.
    5. Farmer, D.W. Groups and Symmetry - A guide to discovering Mathematics American Mathematical Society. Providence:1996
    6. Coxeter, H.M.S; Moser, W.O.TJ. Generators and Relations for Discrete Groups Springer-Verlag, NY:1979
    7. Washburn, D.; Crowe, D. Symmetries of culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis University of Washington Press.Seatle: 1988
    8. Garfunkel, S. (coord) For all practical purposes(3rd ed.) COMAP.Freeman. NY:1988

30.10.11

Os 17 padrões do plano: uma classificação muito usada

Há 17 padrões cristalográficos do plano. Em cada uma das 17 entradas (artigos) anteriores ilustrámos cada um deles com construções dinâmicas feitas em Geogebra, aplicação (de uso livre e livre de custos) recomendada no programa do ensino básico de matemática.

Esta entrada tem por objetivo único apresentar uma lista (tabela classificativa) que nos permita enumerar (distinguindo cada um) todos os 17 tipos. Assim:

Se o maior grau das simetrias de rotação do padrão do plano é:

  • 1 [360º - identidade(1)]
    • com simetrias de reflexão
      • e com simetrias de reflexão deslizante : cm
      • e sem simetrias de reflexão deslizante : pm
    • sem simetrias de reflexão
      • e com simetrias de reflexão deslizante: pg
      • e sem simetrias de reflexão deslizante : p1

  • 2 [180º - meia volta(2x180=360)]
    • com simetrias de reflexão
      • em duas direções
        • e com todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: pmm
        • nem todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: cmm
      • numa só direção: pmg
    • sem simetrias de reflexão
      • e com simetrias de reflexão deslizante: pgg
      • e sem simetrias de reflexão deslizante : p2

  • 3 [120º (3x120=360)]
    • com simetrias de reflexão
      • e com todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: p3m1
      • e nem todos os centros de rotação sobre eixos de reflexão: p31m
    • sem simetrias de reflexão: p3

  • 4 [90º (4x90=360)]
    • com simetrias de reflexão
      • com eixos de reflexão a intersetar-se a 45º:p4m
      • sem eixos de reflexão a intersetar-se a 45º: p4g
    • sem simetrias de reflexão: p4

  • 6 [60º (6x60=360)]
    • com simetrias de reflexão: p6m
    • sem simetrias de reflexão: p6

28.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão, de reflexão deslizante e de meia volta

Na ilustração que se segue, mostramos a região fundamental (com todos os seus elementos) do trabalho para a nossa última das ilustrações dos 17 padrões cristalográficos do plano.



Neste caso, o motivo mínimo é o triângulo com um vértice assinalado a verde e todos os tipos de simetrias do padrão estão no losango cinzento: as diagonais a cheio são os espelhos perpendiculares, os lados não aparecem como tal e não têm qualquer papel, para além de termos tomado os vetores (um a verde -u- outro a vermelho-v-) das translações com as suas direçoes e comprimento. Os pontos a cheio sobre os espelhos são centros de meias voltas (compostas de reflexões de eixos perpendiculares). Os segmentos a tracejado correspondem a reflexões deslizantes (composta de .5(u+v) com o espelho vertical e de .5(u-v) com o eixo horizontal) e os pontos abertos sobre estes segmentos tracejados são centros de meias voltas que não estão sobre espelhos e resultam da composição de reflexões deslizantes de eixos perpendiculares. Claro que também a identidade está sempre presente, embora já nem nos referiramos a ela.
Fica assim bem claro que para a produção da ilustração deste grupo de simetrias do plano não usámos mais que o motivo mínimo e como transformações geradoras as reflexões relativas às diagonais e as translações associadas aos vetores combinações de u e v. Podia ser de outro modo, mas realçamos os dois espelhos mm que vão aparecer na classificação.
Com os seus espelhos perpendiculares e translações o padrão pmm é muito parecido, mas então não partimos de uma região fundamental rômbica e é, por isso, radicalmente diferente deste. Todos os centros das meias voltas em pmm estão sobre eixos de reflexão.
Esclarecemos assim que a (unidade mínima ou) região fundamental e o motivo mínimo determinam cada um dos padrões do plano (ou grupos de simetrias planas) que têm em comum a existência de translações associadas a dois vetores independentes.
Na ilustração dinâmica que apresentamos a seguir pode reproduzir passo a passo a construção, clicando sobre as teclas >> para andar para a frente ou << para andar para trás que aparecem ao fundo. No fim terá interesse movimentar o motivo mínimo para obter diferentes (con)figurações(?), o que é muito divertido. Com as cautelas ou a compreensão sobre as alterações que provoca e as nossas quase óbvias limitações de construção, pode mudar a região mínima e ver o que acontece.... A classificação deste grupo de simetria é
cmm

26.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e de reflexão

No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores (v e w) de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango, usámos a reflexão relativa à diagonal menor e uma reflexão deslizante com a mesma direção da diagonal menor (no caso paralela tirada pelos pontos médios dos lados do losango).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão clik que ao ser clicado, mostra vetores das translações sobre os lados do losango, o vetor a amarelo tracejado associado à reflexão deslizante e, a cheio, o espelho da reflexão todos eles associados a simetrias do padrão plano.
Repare-se que o vetor u da reflexão deslizante não tem a direção de v ou w, embora tenha a direção de alguma das combinações de v e w, v-w. E também que a reflexão deslizante tem eixo paralelo ao do espelho da reflexão. Se os eixos fossem concorrentes, as compostas seriam rotações. Este padrão não admite pois simetrias de rotação (para além da trivial identidade). Os outros padrões do plano que não admitiam simetrias de rotação já foram todos ilustrados em entradas sucessivas. Foram eles p1, pm e pg. Este é um caso diferente destes e, tendo simetrias de reflexão (m) e de reflexão deslizante (g) com eixos paralelos é completamente diferente de pmg que, ainda que podendo ser gerado pelas mesmas isometrias, admite simetrias de rotação. Este é classificado classificado diferentemente como

cm


Parece-nos que a ilustração mais adequada para este diferente tipo de papel de parede reside na construção do telhado tendo para motivo mínimo a meia telha

que apresentamos a seguir e em que, usando os botões de navegação ao fundo, pode seguir o processo utilizado


21.10.11

Além das simetrias por translação, simetrias por rotação de 120, reflexões e reflexões deslizantes




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos reflexões relativas às mediatrizes dos lados dos triângulos e rotações de $120^o$ centradas no centro de um dos triângulos equiláteros (sobre o motivo mínimo). Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ reflexões deslizantes
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, exemplos dos centros de rotação de 120, eixos de reflexão a cheio e de reflexo deslizante a tracejado, todos eles associados a simetrias do padrão plano.
À semelhança de p3 em que 3 se referia âs rotações de amplitude $120^o$, a classificação deste padrão pode ser

p3m1
em que o m da 3ª posição se refere à simetria de reflexão

19.10.11

Além das simetrias por translação, simetrias por rotação de 120 e 180, reflexões e reflexões deslizantes




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos rotações de $120^o$ com centro no centro de um dos triângulos equiláteros e posterior reflexão relativa a uma das diagonais - lado comum aos dois tringulos. Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ e reflexões deslizantes.
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto verde que permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, exemplos dos centros de rotação de 120, eixos de reflexão a cheio e de reflexo deslizante a tracejado, todos eles associados a simetrias do padrão plano.
À semelhança de p3 em que 3 se referia âs rotações de amplitude $120^o$, a classificação deste padrão pode ser

p31m
em que o m da 4ª posição se refere à simetria de reflexão

Etiquetas:

17.10.11

Para além das simetrias de translação, rotações de 60, 120, 180, ... e reflexões




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos rotações de $60^o$ com centro nos vértices do losango e uma reflexão relativa a uma das diagonais. Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ e meias voltas (autónomas daquelas que se obtêm por rotações sucessivas de $90^o$)
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, centros de rotação de 60(, 120,180 e 240), centros de rotações de 120 e 240, centros de meias voltas, eixos de reflexão, todos eles associados às simetrias do padrão plano.
À semelhança de p6 em que 6 se referia âs rotações de amplitude $60^o$, a classificação deste padrão pode ser

p6m
em que o m da 3ª posição se refere às simetrias de reflexão

12.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de rotação de 90º, reflexão, reflexão deslizante e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores perpendiculares e de comprimentos iguais - quadrado, usámos rotações de $90^o$ com centro nos vértices do quadrado e uma reflexão "horizontal" relativa aos segmentos. Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão vertical, de reflexão deslizante e de meias voltas (autónomas daquelas que se obtêm por rotações sucessivas de $90^o$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto azul que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, centros de rotação de 90(, 180 e 270), centros de meias voltas, eixos de reflexão (4 direções a cheio), eixos de reflexão deslizante (duas direções a tracejado), todos eles associados às simetrias do padrão plano.
À semelhança de p4 em que 4 se referia âs rotações de amplitude 90 (4), a classificação deste padrão pode ser

p4m
em que o m da 3ª posição se refere às simetrias de reflexão

11.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e reflexão deslizante e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{2v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão deslizante associada ao vetor $\vec{v}$ e reflexões associadas a espelhos com as direções de $\vec{u}$ (perpendicular à direção de $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão e de reflexão deslizante.
  • deixamos ainda um ponto vermelho que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível; como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que não estão sobre eixos de reflexão.
À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmg
em que o g da 3ª posição se refere às reflexões deslizantes associadas a $\vec{v}$

6.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão associadas a espelhos perpendiculares, aliás com as direções de $\vec{u}$ e $\vec{v}$. O comprimento destes vetores está relacionado com a distância entre espelhos paralelos consecutivos (verticais para $\vec{u}$ e horizontais para $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão.
  • deixamos ainda um ponto verde que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que estarão todos sobre eixos de reflexão.
À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmm
em que o m da 3ª posição se refere às reflexões de eixos horizontais

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5.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.2\vec{u}+n.2\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de reflexões deslizantes associadas aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ortogonais. O motivo mínimo é (uma outonal folha)

Sobre o papel de parede
  • podemos ver os vetores $\quad 2\vec{u}, 2\vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, em parte ilustradas se deslocar os pontos vermelho e azul e, ao mesmo tempo,
  • ver uma ilustração de pobre confirmação das simetrias de reflexão deslizante associadas aos vetores $\vec{u},\vec{v}$;
  • deixamos ainda um ponto verde para dar um cheiro de uma simetria de meia volta e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros das meias voltas
À semelhança de pg em que g se refere a reflexão deslizante, a classificação deste padrão do plano pode ser

pgg

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de resolução de problemas de construção