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Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

17.10.11

Para além das simetrias de translação, rotações de 60, 120, 180, ... e reflexões




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores de diferentes direções e de comprimentos iguais - losango de dois triângulos equiláteros, usámos rotações de $60^o$ com centro nos vértices do losango e uma reflexão relativa a uma das diagonais. Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão, de rotações de $120^o$ e meias voltas (autónomas daquelas que se obtêm por rotações sucessivas de $90^o$)
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto verde que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, centros de rotação de 60(, 120,180 e 240), centros de rotações de 120 e 240, centros de meias voltas, eixos de reflexão, todos eles associados às simetrias do padrão plano.
À semelhança de p6 em que 6 se referia âs rotações de amplitude $60^o$, a classificação deste padrão pode ser

p6m
em que o m da 3ª posição se refere às simetrias de reflexão

12.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de rotação de 90º, reflexão, reflexão deslizante e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração de um grupo de simetrias do plano em que, para além de simetrias de translação associadas a combinações lineares de dois vetores perpendiculares e de comprimentos iguais - quadrado, usámos rotações de $90^o$ com centro nos vértices do quadrado e uma reflexão "horizontal" relativa aos segmentos. Assim gerado, ficamos com outras simetrias além dessas: simetrias de reflexão vertical, de reflexão deslizante e de meias voltas (autónomas daquelas que se obtêm por rotações sucessivas de $90^o$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver um ponto azul que lhe permite obter diversas ilustrações do mesmo padrão (deslocando só o motivo mínimo).
  • um botão que ao ser clicado, mostra vetores, centros de rotação de 90(, 180 e 270), centros de meias voltas, eixos de reflexão (4 direções a cheio), eixos de reflexão deslizante (duas direções a tracejado), todos eles associados às simetrias do padrão plano.
À semelhança de p4 em que 4 se referia âs rotações de amplitude 90 (4), a classificação deste padrão pode ser

p4m
em que o m da 3ª posição se refere às simetrias de reflexão

11.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e reflexão deslizante e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{2v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão deslizante associada ao vetor $\vec{v}$ e reflexões associadas a espelhos com as direções de $\vec{u}$ (perpendicular à direção de $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão e de reflexão deslizante.
  • deixamos ainda um ponto vermelho que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível; como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que não estão sobre eixos de reflexão.
À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmg
em que o g da 3ª posição se refere às reflexões deslizantes associadas a $\vec{v}$

6.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.\vec{u}+n.\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), há simetrias de reflexão associadas a espelhos perpendiculares, aliás com as direções de $\vec{u}$ e $\vec{v}$. O comprimento destes vetores está relacionado com a distância entre espelhos paralelos consecutivos (verticais para $\vec{u}$ e horizontais para $\vec{v}$).
O motivo mínimo é

Sobre o papel de parede
  • podemos ver os vetores $\quad \vec{u}, \vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, que já não ilustramos por óbvias, como óbvias são as simetrias de reflexão.
  • deixamos ainda um ponto verde que, ao ser deslocado, ilustra uma das simetrias de meia volta de centro também visível e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros de outras meias voltas que estarão todos sobre eixos de reflexão.
À semelhança de pm em que m se referia âs reflexões de espelhos verticais, a classificação deste padrão do plano pode ser

pmm
em que o m da 3ª posição se refere às reflexões de eixos horizontais

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5.10.11

Para além das simetrias de translação, simetrias de reflexão deslizante e meias voltas




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m.2\vec{u}+n.2\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de reflexões deslizantes associadas aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ ortogonais. O motivo mínimo é (uma outonal folha)

Sobre o papel de parede
  • podemos ver os vetores $\quad 2\vec{u}, 2\vec{v} \quad$, associados às simetrias de translação referidas acima, em parte ilustradas se deslocar os pontos vermelho e azul e, ao mesmo tempo,
  • ver uma ilustração de pobre confirmação das simetrias de reflexão deslizante associadas aos vetores $\vec{u},\vec{v}$;
  • deixamos ainda um ponto verde para dar um cheiro de uma simetria de meia volta e como exercício sugerimos procurar a posição dos centros das meias voltas
À semelhança de pg em que g se refere a reflexão deslizante, a classificação deste padrão do plano pode ser

pgg

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21.9.11

Para além das simetrias de translação, simetrias rotacionais associadas a 60 graus




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $60^o$ de amplitude. O motivo mínimo é

Clicando sobre os botões
  • vetores - podemos ver o vetor u e o vetor v, associados às simetrias de translação referidas acima;
  • 60n, 120n, 180n, deslocando os pontos que aparecem, podemos verificar a simetria de rotação de grau 6, assim como as de graus 3 e 2.
Como será óbvio, à semelhança de p3 em que 3 se refere a rotações de 120 graus ($3\times120^o=360^o$), a classificação deste padrão do plano pode ser



p6

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20.9.11

Para além das simetrias de translação, rotações de 90 graus




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $90^o$ de amplitude. O motivo mínimo é

Clicando sobre os botões rotações e translações pode ver, respectivamente, um centro de rotação e ângulo, o vetor u e o vetor v, bem como o ponto (verde) para que possa verificar uma simetria de rotação.
Como será óbvio, à semelhança de p3 em que 3 se refere a rotações de 120 graus ($3\times120^o=360^o$), a classificação deste padrão do plano pode ser



p4

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Para além das simetrias de translação, rotações de 120 graus




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $120^o$ de amplitude. O motivo mínimo é


Clicando sobre os botões rotações e translações pode ver, respectivamente, um centro de rotação e ângulo, o vetor u e o vetor v, bem como o ponto (verde) para que possa verificar uma simetria de rotação.
Como será óbvio, à semelhança de p2 em que 2 se refere a meia volta ($2\times180^o=360^o$), a classificação deste padrão do plano pode ser


p3


Esta é uma apliqueta Java criada com o GeoGebra de www.geogebra.org - Talvez não tenha o Java instalado. Vá s.f.f. para www.java.com


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