20.9.11

Para além das simetrias de translação, rotações de 90 graus




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $90^o$ de amplitude. O motivo mínimo é

Clicando sobre os botões rotações e translações pode ver, respectivamente, um centro de rotação e ângulo, o vetor u e o vetor v, bem como o ponto (verde) para que possa verificar uma simetria de rotação.
Como será óbvio, à semelhança de p3 em que 3 se refere a rotações de 120 graus ($3\times120^o=360^o$), a classificação deste padrão do plano pode ser



p4

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Para além das simetrias de translação, rotações de 120 graus




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano em que, para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$), temos simetrias de rotação associadas a um ângulo de $120^o$ de amplitude. O motivo mínimo é


Clicando sobre os botões rotações e translações pode ver, respectivamente, um centro de rotação e ângulo, o vetor u e o vetor v, bem como o ponto (verde) para que possa verificar uma simetria de rotação.
Como será óbvio, à semelhança de p2 em que 2 se refere a meia volta ($2\times180^o=360^o$), a classificação deste padrão do plano pode ser


p3


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14.9.11

Além das simetrias por translação, simetrias por reflexão




No padrão do plano (papel de parede) que se segue, temos uma ilustração do grupo de simetrias do plano que para além das simetrias de translação associadas aos vetores $m\vec{u}+n\vec{v}$ ($m,n \in \mathbb{Z}$) temos simetria de reflexão associada a um espelho(mirror)ou outros com a mesma direção. O motivo mínimo é


Clicando sobre os botões espelho, vetor u ou vetor v pode ver, respectivamente, um eixo de reflexão, o vetor u e o vetor v, bem como os pontos associados para que possa ver os efeitos das mudanças que efetuar sobre cada um deles. Pode mesmo ver o que acontece quando algum dos vetores se anula.

Como será óbvio, a classificação deste padrão do plano pode ser


pm

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10.9.11

Além de translações do plano uma reflexão deslizante




Nesta entrada, ilustramos um padrão plano que, para além das translações associadas a dois vetores independentes, tem simetria de reflexão deslizante. No caso, a um vetor $\vec{u}$ associámos uma reflexão deslizante ($g$ de glide) e já sabemos que $g \circ g= g^2=t_{2u}$. A outro vetor $\vec{v}$ está associada a translação $t_{v}$. De resto, são simetrias deste grupo todas as translações associadas às combinações lineares $2m\vec{u}+n\vec{v}$, em que $m, n \in \mathbb{Z}$.

Clicando sobre o botão u pode ver o vetor $\vec{u}$ e, fazendo deslocar o ponto verde que aparece, confirmar a reflexão deslizante associada a $\vec{u}$ e a simetria de translação associada a $2\vec{u}$.
Clicando sobre o botão v, pode ver o vetor $\vec{v}$ e, deslocando o ponto azul que aparece, confirmar a simetria de translação associada a $\vec{v}$.

Das restantes simetrias de translação, mostramos dois exemplos de outros vetores que são combinações lineares de $2\vec{u}$ e $\vec{v}$.

pg

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5.9.11

Além das translações, meias voltas




Na entrada anterior, o motivo mínimo era o raminho de carvalho e o papel de parede era gerado por duas translações associadas a vetores não paralelos. O grupo de simetrias ilustrado nesse papel de parede era um conjunto de translações munido da composição de transformações, a saber: $(\left\{t_{m.\vec{u}+n.\vec{v}} :m,n \in \mathbb{Z} \right\}, \circ)$.
A classificação p1, a ele referida, justifica~se por não haver simetrias de reflexão nem simetrias de rotação, para além da trivial rotação de $360^o$ - 1.

Nesta entrada, o motivo mínimo é um triângulo escaleno e é fácil ver que às combinações lineares de dois vetores acrescentamos meias voltas. Clicando no botão "vetores das translações", poderá ver os vetores das translações, sem modificar as suas direções e comprimentos. E não mais do que isso. A verificação das simetrias de translação funciona exactamente da mesma maneira que na entrada anterior.
Se clicar no botão "meia volta" pode mesmo rodar a figura de sombras e verificar que há simetrias de meias voltas. Se chamarmos $r$ à rotação de amplitude $180^o$, o grupo das simetrias ilustrado no papel de parede a seguir é constituido pelo conjunto das translações $\left\{t_{m.u+n.v} \circ r^k : m, n, k \in \mathbb{Z}\right\}$. E a classificação é (ou pode ser)

p2

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24.8.11

De um friso (p111) para um papel de parede (p1)




Tome-se o friso da entrada anterior. Por translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ (independentes) aplicadas à figura
(motivo mínimo, "primitive(?)")
,
obtém-se o padrão plano que se ilustra a seguir.
As translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ constituem simetrias da figura. Clicando sobre os diversos botões pode ver os vetores associados e os pontos que pode deslocar para verificar as simetrias de translação ($\vec{u}\quad$, $\vec{v}\quad$ e $\quad m.\vec{u}+n.\vec{v}\quad$ $m, n \in \mathbb{Z}$). Para além destas, não há quaisquer outras simetrias (não triviais, claro).

p1

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2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção