A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

10.9.11

Além de translações do plano uma reflexão deslizante




Nesta entrada, ilustramos um padrão plano que, para além das translações associadas a dois vetores independentes, tem simetria de reflexão deslizante. No caso, a um vetor $\vec{u}$ associámos uma reflexão deslizante ($g$ de glide) e já sabemos que $g \circ g= g^2=t_{2u}$. A outro vetor $\vec{v}$ está associada a translação $t_{v}$. De resto, são simetrias deste grupo todas as translações associadas às combinações lineares $2m\vec{u}+n\vec{v}$, em que $m, n \in \mathbb{Z}$.

Clicando sobre o botão u pode ver o vetor $\vec{u}$ e, fazendo deslocar o ponto verde que aparece, confirmar a reflexão deslizante associada a $\vec{u}$ e a simetria de translação associada a $2\vec{u}$.
Clicando sobre o botão v, pode ver o vetor $\vec{v}$ e, deslocando o ponto azul que aparece, confirmar a simetria de translação associada a $\vec{v}$.

Das restantes simetrias de translação, mostramos dois exemplos de outros vetores que são combinações lineares de $2\vec{u}$ e $\vec{v}$.

pg

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5.9.11

Além das translações, meias voltas




Na entrada anterior, o motivo mínimo era o raminho de carvalho e o papel de parede era gerado por duas translações associadas a vetores não paralelos. O grupo de simetrias ilustrado nesse papel de parede era um conjunto de translações munido da composição de transformações, a saber: $(\left\{t_{m.\vec{u}+n.\vec{v}} :m,n \in \mathbb{Z} \right\}, \circ)$.
A classificação p1, a ele referida, justifica~se por não haver simetrias de reflexão nem simetrias de rotação, para além da trivial rotação de $360^o$ - 1.

Nesta entrada, o motivo mínimo é um triângulo escaleno e é fácil ver que às combinações lineares de dois vetores acrescentamos meias voltas. Clicando no botão "vetores das translações", poderá ver os vetores das translações, sem modificar as suas direções e comprimentos. E não mais do que isso. A verificação das simetrias de translação funciona exactamente da mesma maneira que na entrada anterior.
Se clicar no botão "meia volta" pode mesmo rodar a figura de sombras e verificar que há simetrias de meias voltas. Se chamarmos $r$ à rotação de amplitude $180^o$, o grupo das simetrias ilustrado no papel de parede a seguir é constituido pelo conjunto das translações $\left\{t_{m.u+n.v} \circ r^k : m, n, k \in \mathbb{Z}\right\}$. E a classificação é (ou pode ser)

p2

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24.8.11

De um friso (p111) para um papel de parede (p1)




Tome-se o friso da entrada anterior. Por translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ (independentes) aplicadas à figura
(motivo mínimo, "primitive(?)")
,
obtém-se o padrão plano que se ilustra a seguir.
As translações associadas a $\vec{u}\quad$ e $\vec{v}\quad$ constituem simetrias da figura. Clicando sobre os diversos botões pode ver os vetores associados e os pontos que pode deslocar para verificar as simetrias de translação ($\vec{u}\quad$, $\vec{v}\quad$ e $\quad m.\vec{u}+n.\vec{v}\quad$ $m, n \in \mathbb{Z}$). Para além destas, não há quaisquer outras simetrias (não triviais, claro).

p1

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19.8.11

Grupos de simetrias do plano: do particular para o geral



1. Rosáceas

Os chamados grupos de simetria de Leonardo (rosáceas) constituem-se como grupo de transformações do plano - finito, discreto, de rotações, reflexões e suas compostas - em que os eixos das reflexões passam pelo centro das rotações e, por isso, é um grupo de transformações em que há um ponto que é transformado em si mesmo. As amplitudes das rotações são sempre (em graus) quocientes das divisões (de resto $0$) de $360^o$ por um divisor inteiro.

2.Frisos

As ilustrações dos sete frisos, apresentadas em entradas anteriores, são o catálogo completo dos grupos de transformações (infinitos, discretos) do plano em que "se há uma simetria de translação segundo um vetor $\vec{u}$, todas as translações associadas a vetores $n\times\vec{u}, n\in\mathbb{Z}$ (e só essas de entre todas as translações do plano) são simetrias". (Claro que pode haver (ou não) outras simetrias para além das translações). Estes grupos de simetrias transformam pontos do plano em pontos do plano e de tal modo que as imagens dos pontos da figura original são outros pontos da figura, que se mantém, sem que qualquer ponto seja transformado em si mesmo. As rectas com a direcção dos vetores associados às translações são imagens de si próprias.


Esta construção ilustra (de novo!) os resultados acima referidos. Claro que se refere ao friso em que só há simetrias de translação associadas aos vetores $n\times\vec{u}, n\in \mathbb{Z}$, mas os resultados que, sobre ele, pode verificar, são os mesmos para qualquer friso (no que respeita às simetrias de translação presentes em todos os frisos). Clicando sobre o botão simetrias de translação, verá aparecer um ponto triangular que pode movimentar livremente sobre a direção de $\vec{u}$, podendo ver que a translação $t$ associada ao $\vec{u}$ é uma simetria, como o é $t^{-1}$ - translação associada ao vetor $-\vec{u}$ , $t\circ t=t^2$ - associada ao vetor $2\times \vec{u}$, etc

3. Completando o mural das simetrias do plano: Papel de parede

Há 17 modos adicionais de grupos de simetrias (infinitos e discretos) do plano. Tomando para ponto de partida os frisos em que há simetrias de translação associadas a vetores que dependem de um único vetor $\vec{u}$ ($n.\vec{u}$, com $n$ inteiro: discreto, numa direção), considerem-se agora dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$, independentes (não paralelos ou seguindo direções diferentes), e as combinações lineares $m\times \vec{u}+n \times\vec{v}$ com $m,n \in \mathbb{Z}$ e as translações a elas associadas como simetrias do plano. É claro que haverá outras simetrias. É óbvio que os frisos são um caso particular deste (basta pensar em $m=0 \wedge n\neq 0$ para termos o friso associado a $\vec{v}$ ou $n=0 \wedge m\neq 0$ e termos o friso associado a $\vec{u}$). Veremos que, de certo modo, entre eles se encontrarão as rosáceas, se não contássemos com as (enumeráveis, inumeráveis, numeráveis ;-) infinitas translações.

De um modo geral, chamamos padrões planos a todos estes grupos de simetrias do plano.

Vamos começar com a construção de um "wallpaper: papel de parede", a partir do friso ilustrado acima em que as únicas simetrias presentes serão mesmo translações (desprezando todas as simetrias triviais).

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção