A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

11.8.11

Notações para padrões de frisos.

As notações convencionadas para classificar cada padrão de friso consistem em quatro símbolos ordenados da esquerda para a direita.
  1. Na primeira posição há sempre um p a indicar que o padrão se repete de forma periódica numa direcção horizontal.
  2. Na segunda posição pode aparecer m ou 1: mirror (espelho), caso haja uma simetria de reflexão com eixo vertical; 1 em caso contrário.
  3. Na terceira posição pode aparecer m, a (de alternating) ou 1: m caso haja uma simetria de reflexão com eixo horizontal, a caso haja uma simetria de reflexão deslizante (mas não de reflexão horizontal) ou 1 em caso de não haver qualquer dessas simetrias.
  4. Na quarta posição pode aparecer 2 caso haja uma simetria rotacional (de meia volta) ou 1 em caso contrário.
Em qualquer das posições, 1 sgnifica que o padrão não tem a simetria correspondente à posição, sendo que
  • o primeiro símbolo p indica simetria de translação horizontal,
  • na segunda posição indica-se se há ou não há simetria de reflexão vertical,
  • na terceira posição indica-se se há ou não alguma simetria de reflexão (m ou a) associada a direção horizontal e
  • na quarta posição indica-se se há ou não simetria rotacional de meia volta.

A ilustração que se segue pretende ser o quadro que discrimina simetrias de cada um dos 7 padrões de frisos. A última linha, com as respectivas notações, fecha o quadro.



Dorothy V. Washburn and Donald W Crowe. Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. University of Washington Press. Seatle: 1988


Toda esta entrada é uma adaptação livre de um texto do capítulo "Symmetry and Patterns. Garfunkel S.(dir.); Steen, L(coord.);Campbell P. (author) For all Practical Purposes - Introduction to Contemporary Mathematics. 3rd edition. COMAP. NY:1994". Com ela pretendemos esclarecer as notações que fomos colando a cada tipo de friso e ue aparecem em quase todas as publicações sobre o assunto. A este respeito, preferimos descrições (mesmo com abusos) do grupo de simetrias de cada friso.

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9.8.11

Grupo de simetrias gerado por duas reflexões verticais e uma horizontal

Na construção dinâmica que se segue, clicando nos botões de navegação ao fundo, pode seguir a construção passo a passo de um friso gerado por reflexões s1 e s2 respectivamente relativas aos eixos e1 e e2 paralelos (verticais) e uma outra reflexão s3 relativamente a um eixo horizontal h. A partir de um objeto inicial -(d)- verá sucessivamente s1(d), s2(d), s1(s2(d)), (d)), s2(s1(d)), s1(s2(s1(d)), s2(s1(s2(d)), etc, e, em nova fila, as imagens da primeira fila, pela reflexão s3.



pmm2

A classificação acima justifica-se por sabermos que há também uma simetria de meia volta (a composta de duas reflexões de eixos perpendiculares é uma meia volta), assim como há simetria de translação (a composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação).

O grupo de simetrias associado a este friso é
{tn}n ∈ Ζ  ∪ {tn.v}n ∈ Ζ   ∪  {tn.h}n ∈ Ζ  ∪ {tn.v.h}n ∈ Ζ

em que t é uma translação, v uma reflexão de eixo vertical e h uma reflexão de eixo horizontal.

Seguem-se duas pequenas construções para que possa verificar os resultados referidos acima.


   


Fica óbvio que esse friso pode obter-se de várias maneiras. Pode realizar novas construções.

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6.8.11

Grupo de simetrias gerado por reflexão deslizante e meia volta ou...

Temos vindo a apresentar diversos tipos de frisos que vamos classificando de acordo com as transformações usadas para os gerar - translações, rotações de meia volta, reflexões relativas um eixo e reflexões deslizantes (tomamos a horizontal como direcção de desenvolvimento do friso). Vamos indicando, para cada um, a classificação generalizadamente considerada, que se associa a cada tipo de friso e, no seu conjunto, esgotam os 7 tipos de frisos diferentes existentes. Alguns destes frisos podem ser obtidos, obviamente, de modos diferentes usando transformações diferentes. Temos vindo a indicar os grupos de simetria associados a cada friso.

O friso, cuja construção a seguir se ilustra, é gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma meia volta - r - de centro no bem visivel rombo verde. O grupo das suas simetrias respectivo é {gn | n ∈ Ζ} ∪ {gn.r | n ∈ Ζ}, em que g0 é a transformação identidade.
Ao ver a construção passo a passo, a partir do g0(d)=d inicial, verá g1 (d), g-1(d), g2(d), g-2(d), etc e depois g1.r (d), g-1.r(d), g2.r(d), g-2.r(d), etc.






Este tipo de friso também pode ser gerado por uma reflexão deslizante - g - e uma reflexão vertical - v : {gn | n ∈ Ζ} ∪ {gn.v | n ∈ Ζ. Pode seguir a construção passo a passo do mesmo modo, agora por esta ordem: g0(d)=d, g1 (d), v.g1 (d), etc




pma2

Assim aparece classificado este tipo de friso nos quadros de
Dorothy Washburn and Donald Crowe. Symmetries of Culture:Theory and Practice of Plane Pattern Analysis. U.W. Pressg, Seatle:1988

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3.8.11

Grupo de simetrias gerado por translação e reflexão vertical

Na abordagem de grupos de simetrias infinitos que são ilustrados por repetições periódicas de algum motivo numa direção (horizontal, por facilidade), temos apresentado diferentes ilustrações (ou composições), as transformações geométricas geradoras de cada grupo de simetrias e mesmo o conjunto dessas transformações. Antes do friso que ora apresentamos, as transformações geométricas mobilizadas foram translações, meias voltas, reflexões associadas a um eixo horizontal e reflexões deslizantes associadas a um eixo e vetor com a mesma direção horizontal. Apresentamos agora um friso que corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vetor u (horizontal) e uma reflexão v relativamente a um espelho (v) de direção (vertical) perpendicular à do vetor associado à translação.
Pode acompanhar-se, por uso de botões de navegação, a criação da composição a partir de um d(=t0(d)), t1(d), t-1(d), t2(d), t-2(d), etc e depois um primeiro b(=v(d)=v(t0 (d))), v(t1 (d)), etc.

O grupo das simetrias ilustrado neste friso é pois {tn | n∈Ζ} ∪ {tn.v | n ∈Ζ}.



pm11

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21.7.11

Grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante

Na construção que apresentamos a seguir, o friso de duas filas de RRR(erres) corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante g, associada ao eixo de reflexão a e ao vector v. Clicando no botão 'reflexão deslizante' pode ver o espelho (a) e o vetor (v) a ela associados. Clique depois em 'deslocar para ver a simetria' (por translação e ver a composição que a simetria reflexão deslizante é neste friso) e faça deslizar o ponto verde, que aparece destacado, segundo u=2v. Lembramos que g.g=tu.

O ponto negro que sempre esteve visível permite modificar a "figura friso" mantendo o mesmo grupo de simetrias



p1a1, a de alternate

O conjunto de simetrias deste friso é {gn | n ∈ Ζ} em que g representa a reflexão deslizante.

Notas: Sobre a reflexão deslizante, aconselhamos a leitura das entradas, de 2009, neste blog, sobre os deslocamentos rígidos do plano. Particularmente:
sobre a reflexão deslizante e as compostas de translações com reflexões, de um modo geral;
sobre as compostas de reflexões com translações equivalentes a compostas de translações com reflexões.

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Grupo de simetrias gerado por reflexão horizontal e translação

Na construção se se segue partimos de um friso de RRRR (erres) com simetria de translação (correspondente ao primeiro grupo infinito de simetrias aqui apresentado). Clicando sobre o botão 'reflexão' obtém-se, por reflexão um novo friso correspondente a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vector u e uma reflexão h de eixo a (com a mesma direção de u). O conjunto de simetrias deste friso é {tn}n∈Ζ ∪ {h.tn} n∈Ζ. Designamos esta reflexão por h, por a tomarmos horizontal nas representações.
O botão "deslocar para ver" serve para ver as simetrias por translação no friso p111 de que se parte e o friso p1m1 a que se chega .


Finalmente ainda nos interessa mostrar como se passa deste friso para o outro p1a1 que é objecto da próxima entrada. Para isso, basta clicar no botão alternar. Claro que, depois de clicar em 'alternar', pode deslocar o ponto a preto bem como o ponto verde, observando o que acontece.


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