21.7.11

Grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante

Na construção que apresentamos a seguir, o friso de duas filas de RRR(erres) corresponde a um grupo de simetrias gerado por uma reflexão deslizante g, associada ao eixo de reflexão a e ao vector v. Clicando no botão 'reflexão deslizante' pode ver o espelho (a) e o vetor (v) a ela associados. Clique depois em 'deslocar para ver a simetria' (por translação e ver a composição que a simetria reflexão deslizante é neste friso) e faça deslizar o ponto verde, que aparece destacado, segundo u=2v. Lembramos que g.g=tu.

O ponto negro que sempre esteve visível permite modificar a "figura friso" mantendo o mesmo grupo de simetrias



p1a1, a de alternate

O conjunto de simetrias deste friso é {gn | n ∈ Ζ} em que g representa a reflexão deslizante.

Notas: Sobre a reflexão deslizante, aconselhamos a leitura das entradas, de 2009, neste blog, sobre os deslocamentos rígidos do plano. Particularmente:
sobre a reflexão deslizante e as compostas de translações com reflexões, de um modo geral;
sobre as compostas de reflexões com translações equivalentes a compostas de translações com reflexões.

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Grupo de simetrias gerado por reflexão horizontal e translação

Na construção se se segue partimos de um friso de RRRR (erres) com simetria de translação (correspondente ao primeiro grupo infinito de simetrias aqui apresentado). Clicando sobre o botão 'reflexão' obtém-se, por reflexão um novo friso correspondente a um grupo de simetrias gerado por uma translação t associada a um vector u e uma reflexão h de eixo a (com a mesma direção de u). O conjunto de simetrias deste friso é {tn}n∈Ζ ∪ {h.tn} n∈Ζ. Designamos esta reflexão por h, por a tomarmos horizontal nas representações.
O botão "deslocar para ver" serve para ver as simetrias por translação no friso p111 de que se parte e o friso p1m1 a que se chega .


Finalmente ainda nos interessa mostrar como se passa deste friso para o outro p1a1 que é objecto da próxima entrada. Para isso, basta clicar no botão alternar. Claro que, depois de clicar em 'alternar', pode deslocar o ponto a preto bem como o ponto verde, observando o que acontece.


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3.7.11

Um grupo de simetria gerado por uma meia volta e uma translação

Partimos de um elemento figurativo que, por uma translação associada a vetores u e -u, decora uma fita com infinitas pequenas figuras todas iguais (seguindo uma mesma direção e um mesmo sentido) tal como se mostrou na primeira ilustração de friso. Neste novo friso, acontece que a cada uma das figuras corresponde uma outra obtida por rotação r de 180 graus (meia volta) em torno de um ponto sobre uma recta com a direção de u. É óbvio que assim o conjunto das duas filas horizontais de figuras pode ser obtido por translação a partir de um par de figuras de que um dos seus elementos se obtém por meia volta sobre o outro. Note-se que, qualquer centro da meia volta é transformado noutro pela translação e, em consequência, em relação a cada centro, uma figura elementar do friso superior tem por imagem a figura do friso inferior equidistante desse centro.
Para ver o vetor u da translação associada, clique no botão 'translação' e para verificar a simetria de translação, desloque o ponto que aparece de novo, na origem do vetor. Para não complicar a figura, volte ao princípio (botão automático da construção, em cima à direita) e, clicando no botão 'meia volta?', desloque o ponto verde no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio para ver a simetria por meia volta. Para além das simetrias de translação, pode acontecer a simetria de meia volta num friso.... O conjunto das simetrias deste friso é, portanto, {tn|n∈Ζ}∪{tn.r|n∈Ζ}




Se quiser ver os conjuntos de pontos que são centros das várias meias voltas, clique no botão 'listas'.



Na anterior entrada (primeira de friso), o grupo de simetria é gerado por uma só translação. A transformação geométrica translação é elemento comum a todos estes grupos de simetrias - frisos- em que há rectas paralelas ao vector associado à translação pela qual são imagens de si próprias, sem que qualquer ponto se mantenha invariante. Nesta entrada, consideramos as rotações de 180 graus (e obviamente de 360 graus e outros múltiplos de 180). Num friso, não podemos considerar rotações de amplitudes diferentes daquelas. Mas podemos considerar reflexões em eixos horizontais (paralelos ao vector da translação) e relativamente a eixos verticais (perpendiculares à direcção das repetições). A composta ou produto de reflexões de eixos paralelos é uma translação - um objecto colocado entre dois espelhos paralelos cria uma vista de friso de imagens todas iguais a esse objecto. Lembramos que o produto de duas reflexões de eixos concorrentes é uma rotação....



Nas classificações de frisos, para além da letra p (inicial, de periódico) que aparece nas classificações de todos os frisos, pode aparecer em segunda posição m (mirror: espelho) se houver reflexão vertical (ou 1, nessa posição se não houver reflexão vertical); m em 3ª posição se houver reflexão horizontal ou a (de alternate) se houver reflexão deslizante (ou 1, em caso de não haver), 2 em 4ª posição caso haja meia volta (ou 1, caso não haja meia volta).

De acordo com estas notações, o primeiro friso (da entrada anterior) é p111, e o desta entrada é p112.

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