23.5.11

Relações métricas no paralelogramo



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19.5.11

Relações métricas no paralelogramo



17.5.11

Relações métricas no paralelogramo



Relações métricas no paralelogramo

Dado um paralelogramo ABCD, por C traça-se uma reta r que divida a diagonal BD em duas partes, EB e ED, tais que EB=4.ED. Seja F o ponto de interseção de r com AD. Verifica-se que FA=3.FD.




Uma recta tirada pelo vértice C de um paralelogramo que determina na diagonal oposta BD a sua quinta parte determinará no lado AD a sua quarta parte.
Este resultado pode generalizar-se obviamente e a sua demonstração baseia-se na semelhança entre os triângulos BCE e DEF.

15.5.11

Relações métricas no paralelogramo

Tomemos um paralelogramo ABCD e uma reta r passando por A que não corte o paralelogramo. Para os segmentos BB', CC' e DD', das perpendiculares a r tiradas por B, C e D, verifica-se que
CC'= BB' + DD'

se C for o vértice do paralelogramo oposto a A.




Demonstre esse resultado.
O que acontece se r cortar o paralelogramo?

13.5.11

Relações métricas no paralelogramo

Num paralelogramo ABCD, tomemos os pontos médios de AB e CD, M e N respectivamente. DM e BN cortam a diagonal AC em dois pontos R e S que a cortam em três segmentos iguais

Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim parece. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Pode provar o resultado?


11.5.11

Relações métricas nos quadriláteros - lados e diagonais

A soma das diagonais de um quadrilátero convexo está entre os seus semiperímetro e perímetro.

Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim é. E também que assim não é para quadriláteross côncavos. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Depois, pode pensar em justificar esse resultado.


5.5.11

Relações métricas nos quadriláteros - paralelogramos

Pelo vértice A do paralelogramo ABCD traça-se uma secante que intersete a diagonal BD no ponto E, o lado BC em F e o lado CD em F. Verifica-se que:
EA2 = EF.EG




3.5.11

Relações métricas no quadrilátero - trapézio, divisão das bases

Num trapézio ABCD, a bissetriz do ângulo formado pelos lados, AD e BC, não paralelos divide cada uma das bases, AB e CD, em segmentos proporcionais aos lados não paralelos que lhe são adjacentes:
MA / MB = ND / NC = AD / BC





28.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em que b=AC, c=AB; D é o pé da bissetriz do ângulo em A; k=AD.
Verifica-se que:

√2/k=1/b+1/c




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27.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se DE perpendicular
a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que:

DB.DC=EA.EB+FA.FC



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26.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo ABC é retângulo em A.
Seja M o ponto médio de AB. Verifica-se que a diferença dos quadrados dos segmentos CP e PB é igual ao quadrado de AC.






Para demonstrar esta proposição, consideram-se os triângulos retângulos CPM, MPB, MAC.

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25.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo - a divisão da hipotenusa

Num triângulo retângulo, se um cateto é o dobro do outro, então o pé da altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos, sendo o maior quádruplo do menor.






Os triângulos ABC,ACD e ABD são semelhantes. Da semelhança entre estes últimos:AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como AB=2.AC, AD=2.CD então BD=2.AD=4.CD

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