15.5.11

Relações métricas no paralelogramo

Tomemos um paralelogramo ABCD e uma reta r passando por A que não corte o paralelogramo. Para os segmentos BB', CC' e DD', das perpendiculares a r tiradas por B, C e D, verifica-se que
CC'= BB' + DD'

se C for o vértice do paralelogramo oposto a A.




Demonstre esse resultado.
O que acontece se r cortar o paralelogramo?

13.5.11

Relações métricas no paralelogramo

Num paralelogramo ABCD, tomemos os pontos médios de AB e CD, M e N respectivamente. DM e BN cortam a diagonal AC em dois pontos R e S que a cortam em três segmentos iguais

Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim parece. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Pode provar o resultado?


11.5.11

Relações métricas nos quadriláteros - lados e diagonais

A soma das diagonais de um quadrilátero convexo está entre os seus semiperímetro e perímetro.

Na construção dinâmica que se apresenta a seguir pode verificar que assim é. E também que assim não é para quadriláteross côncavos. Desloque os vértices do quadrilátero livremente para ver o que se passa. Depois, pode pensar em justificar esse resultado.


5.5.11

Relações métricas nos quadriláteros - paralelogramos

Pelo vértice A do paralelogramo ABCD traça-se uma secante que intersete a diagonal BD no ponto E, o lado BC em F e o lado CD em F. Verifica-se que:
EA2 = EF.EG




3.5.11

Relações métricas no quadrilátero - trapézio, divisão das bases

Num trapézio ABCD, a bissetriz do ângulo formado pelos lados, AD e BC, não paralelos divide cada uma das bases, AB e CD, em segmentos proporcionais aos lados não paralelos que lhe são adjacentes:
MA / MB = ND / NC = AD / BC





28.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em que b=AC, c=AB; D é o pé da bissetriz do ângulo em A; k=AD.
Verifica-se que:

√2/k=1/b+1/c




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27.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo

Seja ABC um triângulo retângulo em A. Do ponto D, qualquer, da hipotenusa tira-se DE perpendicular
a AB e DF perpendicular a AC. Verifica-se que:

DB.DC=EA.EB+FA.FC



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26.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo

O triângulo ABC é retângulo em A.
Seja M o ponto médio de AB. Verifica-se que a diferença dos quadrados dos segmentos CP e PB é igual ao quadrado de AC.






Para demonstrar esta proposição, consideram-se os triângulos retângulos CPM, MPB, MAC.

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25.4.11

Relações métricas no triângulo retângulo - a divisão da hipotenusa

Num triângulo retângulo, se um cateto é o dobro do outro, então o pé da altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos, sendo o maior quádruplo do menor.






Os triângulos ABC,ACD e ABD são semelhantes. Da semelhança entre estes últimos:AC/AB=CD/AD=AD/BD. Como AB=2.AC, AD=2.CD então BD=2.AD=4.CD

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23.4.11

Relações métricas no triângulo - o ovo

Há problemas assim:
Do triângulo ABC, prolongue-se BC e tome-se F tal que BF=4.BC. Una-se F com o ponto médio D de AB, obtendo uma recta que divide por E o lado AC. E saiba que, e não só na Páscoa, que

4.AC=7.AE





A pergunta não é Qual é o interesse disso?", mas antes Porque será?
Bom domingo para pensar nisso.

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21.4.11

Relações métricas no triângulo - lados e medianas

De um triângulo qualquer ABC, consideremos os seus lados a, b, c e as suas medianas m,n,p. Conjecturamos que
9(a4+b4+c4) = 16(m4+n4+p4)
.
Demonstre.





Nas deambulações pelos velhos livros em busca de resultados métricos sobre triângulos (para exemplos de novos exercícios e problemas a propor) sempre vamos encontrando aqueles que nos deixam espantados e nos comprovam como era e é possível apresentar propostas hilariantes. Estas propostas são tanto mais hilariantes quanto é certo que muitas delas apareceram em provas de exame. Para o resultado apresentado era pedida a demonstração duma prova de exame dos cursos técnicos franceses aplicados a aspirantes a marinheiro. Há muitos exemplos semelhantes que podem ser retirados de antigos exames portugueses (de exames de admissão à universidade, ou finais dos cursos complementares liceal e técnico, dos exames do propedêutico ou dos exames do 12º ano). Não é preciso melhor exemplo para provar que à época havia poucas bolsas para o curso em causa. Nem para as outras coisas que sempre há quem finja não terem existido no tempo em que é que era bom.
(Problèmes d'examens. Bourse des Écoles de navigation de la Marine marchande
Cluzel, Robert. La Géométrie et ses applications. Enseignement Téchnique. Librairie Delagrave. Paris:1964. )

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20.4.11

Relações métricas no triângulo - bissetriz

Num triângulo ABC, tiram-se as perpendiculares BB' e CC' à bissetriz AD do ângulo Â. Os pontos A e D são separados harmonicamente pelos pontos B' e C'.




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19.4.11

Relações métricas no triângulo - alturas, ortocentro

De um triângulo qualquer ABC, as alturas encontram-se no ortocentro H, ficando cada uma delas dividida em dois segmentos, por exemplo, AH e HHa. Verifica-se que

AH.HHa=BH.HHb =CH.HHc



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18.4.11

Relações métricas no triângulo - pés das perpendiculares aos lados a partir de um ponto

No triângulo ABC, sejam A', B', C' os pés das perpendiculares tiradas de um ponto P qualquer respetivamente para os lados BC, AC, AB. Verifica-se que:

AB'2 +BC'2+CA'2 = AC'2+CB'2 +BA'2






Para a demonstração, tomam-se os segmentos PA. PB e PC e os triângulos rectângulos PAB', PCB', PBA'. etc a que se aplicam o Teorema de Pitágoras., para obter, por exemplo AB'2 = PA2-PB'2....

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17.4.11

Relações métricas num triângulo equilátero

As alturas de um triângulo equilátero têm comprimentos iguais. Tomado um ponto P variável dentro de um triângulo equilátero ABC, as distâncias de P aos lados AB, BC e CA têm soma constante igual à altura de ABC.





O que aconteceria se o triângulo fosse simplesmente isósceles?

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