24.2.11

Relação métrica nos triângulos - generalização do Teorema de Pitágoras

Num triângulo ABC, de lados a, b, c, sendo c' a projecção ortogonal de c sobre a,
  • se o ângulo B não é reto, então b2=a2+c2±2ac', conforme B é obtuso ou agudo,
  • se o ângulo B é reto, então b2=a2+c2 (Pitágoras), já que c'=0.
Esta relação é geral para todos os triângulos e quaisquer que sejam os lados que consideremos.

Arraste A para verificar o que se passa com os diversos tipos de triângulos.

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22.2.11

Lados de um triângulos e suas projeções ortogonais.

As alturas AA', BB' e CC' de triângulo ABC determinam sobre os lados AB, BC e AC segmentos que verificam a seguinte relação métrica
AB'.BC'.CA'= AC'.BA'.CB'
.

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21.2.11

A bissetriz e os lados do triângulo

A bissetriz do ângulo  do triângulo ABC divide o lado BC em dois segmentos BD e DC. Prova-se a seguinte relação métrica
BD.AC=CD.AB
já usada na anterior entrada:relação de Stewart aplicada à bissetriz.


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18.2.11

Relação de Stewart no caso da bissetriz

Para um triângulo ABC, no caso de tomarmos a bissetriz AD=β do ângulo  a dividir o lado a=BC em dois segmentos m=BD e n=DC, a relação de Stewart pode ser escrita assim:
b2m+c2n=β2a+mna

e, sendo também verdade que                                  cn=bm,
bc=mn+β2


Na construção interativa que se apresenta a seguir, pode deslocar A, B, C fazendo variar a, b, c, m, n, β e verificar que aquelas igualdades se mantêm.


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14.2.11

Relação de Stewart

Dado um triângulo ABC e uma ceviana, por exemplo BD (do vértice B para o lado AC), Os comprimentos dos lados AB, BC e AC, dos segmentos AD e CD determinados sobre AC pela ceviana e BD estão relacionados. Essa relação é conhecida como relação de Stewart que pode ser usada para determinar comprimentos de bissectrizes e medianas.

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8.2.11

Operações sobre binómios, casos notáveis

Na construção pode fazer variar a, b, c, d.



Se ao quadrado ABCD, de área a2, tirarmos o quadrado CHIJ, de área b2, ficamos com o polígono ABJIHDA. Mas GIHD tem a mesma área de BEFJ. Logo podemos substituir ABJIHDA por AEFG cuja área é (a+b).(a-b). Em conclusão, a2-b2=(a-b)(a+b).

1.2.11

Equação x2=c

Para resolver geometricamente a equação x2=c, em ordem a x, basta tomar um triângulo retângulo ABC de hipotenusa 1+c (AB). A altura AH relativa à hipotenusa AB é meio proporcional entre 1 e c. Ver a semelhança dos triângulos rectângulos ACH e BCH em que ABC fica dividido pela altura.
Na construção que se segue, pode fazer variar c.

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