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10.12.11

Grupos de simetrias dos padrões do plano e simetrias das pavimentações- GRAU 1

Como podemos facilmente verificar uma parte das ilustrações dos grupos de simetrias do plano apresentadas como padrões de papel de parede ilustram diferentes pavimentações do plano (para a definição feita na entrada anterior). Para além de outras, assim acontece com as últimas ilustrações dos exercícios de identificação (tendo F como motivo mínimo), publicados recentemente. Em Martin, G. Transformation Geometry: and introduction to symmetry. Springer-Verlag, N.Y: 1982, o estudo dos grupos de simetria do plano (que antecede o estudo das pavimentações) é concluído com uma síntese da tabela classificativa dos padrões do plano, usando como ilustração de cada grupo uma pavimentação do plano.
Pensamos que, para a classificação dos 17 padrões do plano pode ser uma grande ajuda rever a tabela algorítmica acompanhada destas ilustrações. E é um bom começo para estudar pavimentações poligonais do plano. Como se sabe, estas classificações foram feitas tomando por base que um padrão do plano tem sempre no seu grupo de simetrias, translações associadas a dois vetores u e v independentes ou associadas a m.u+n.v, com m e n inteiros e as restrições no que respeita às simetrias de rotação. A rotação de grau 1, identidade - rotação de 360.k graus com k inteiro, está sempre presente em todos os padrões, mas, para além dessa,m grupos de simetria de padrões do plano, só são admissíveis rotações de grau 2 (180.k ou meias voltas), de grau 3 (120.k), de grau 4 (45.k) e as de grau 6 (60.k).

Começamos com as ilustrações dos grupos que não admitem rotações de grau superior a 1. Assim:

ROTAÇOES DE GRAU 1

p1

Sem simetrias de reflexão ou reflexão deslizante

cm

Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); alguns dos eixos de (rd) não são espelhos

pm

Com simetrias de reflexão e reflexão deslizante (rd); todos eixos de (rd) são espelhos

pg

Sem simetrias de reflexão, mas com simetrias de reflexão deslizante.

Voltamos a lembrar que em todos os grupos de simetrias dos padrões dos planos há simetrias de translação...

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