18.12.10

com geometria dinâmica,...

13.12.10

Perpendiculares e pontos delas distanciados

Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é igual a a2.



7.12.10

O quarto vértice de um paralelogramo

São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar do quarto vértice M do paralelogramo de que dois lados são AA' e A'B'.


6.12.10

Ponto médio de um segmento de extremos sobre concorrentes

São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, os pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar dos pontos médios dos segmentos A'B'.




Claro que se tomarmos os pontos A' e B' do outro lado de AB, os seus pontos médios estão sobre a outra semirecta.

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5.12.10

Pontos proporcionalmente distanciados de duas rectas concorrentes

Determinar o lugar geométrico dos pontos P cuja razão das distâncias a duas retas secantes r e s é igual a p/q.




Há outras duas rectas,claro! Para as duas apresentadas, considerámos p e distância a r e q e distância a s.

28.11.10

Pontos distanciados proporcionalmente de um ponto e de uma circunferência

Determinar o lugar geométrico dos pontos que dividem numa razão dada p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferência dada.




Há ainda outras duas circunferências que tentamos colocar visíveis numa construção inteligível para o espaço disponível neste lugar.

27.11.10

Pontos que dividem segmentos paralelos entre secantes numa razão dada

Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razão dada p/q os segmentos paralelos a uma reta a dada e limitados por duas retas secantes r e s.




Pode variar p e q para ver como se mantêm iguais as razões.

25.11.10

Pontos distanciados proporcionalmente a duas rectas paralelas

Determinar o lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas paralelas r e s é p/q



Ainda outros lugares geométricos

  1. Determinar o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas paralelas r e s é p/q.
  2. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa mesma razão dada p/q os segmentos paralelos a uma reta dada e limitados por duas retas secantes r e s.
  3. Determinar o lugar dos pontos que dividem numa razão dada p/q os segmentos que unem um ponto dado P aos pontos de uma circunferência dada.
  4. Determinar o lugar dos pontos cuja razão das distâncias a duas retas secantes é igual a m/n.
  5. São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar dos pontos médios dos segmentos A'B'.
  6. São dadas duas retas concorrentes X'OX e Y'OY; sobre a primeira, o pontos A e A', sobre a segunda os pontos B e B'. Os pontos A e B estão fixos; os pontos A' e B' percorrem estas retas, mantendo-se do mesmo lado da reta AB e de modo que a razão AA'/BB' se mantenha constantemente igual à razão dada m/n. Determinar o lugar do quarto vértice M do paralelogramo de que dois lados são AA' e A'B'.
  7. Determinar o lugar dos pontos cuja soma dos quadrados das distâncias a duas retas perpendiculares é igual a a2.

22.11.10

Tirar tangentes a uma circunferência por um ponto exterior

No 9º ano de escolaridade, estudam-se os lugares geométricos: retas e segmentos, circunferências e círculo; inscrição de segmentos, ângulos e polígonos em círculos. No fundo estudam-se as posições relativas de cada uma delas relativamente a cada uma das outras e as propriedades decorrentes. Um ponto P pode estar sobre a circunferência de raio r centrada em O (r=OP), ser exterior (rOP) a ela. ou Uma recta a pode ser exterior a uma circunferência de raio r e centro O (r< d(O,a)), tangente (r=d(O,a)) ou secante (r>d(O,a)). O caso da tangente é o mais estudado já que a consequência imediata de r=d(O,t) é a tangente (t em T) ser perpendicular ao raio OT o que sugere fortemente uma construção com régua e compasso. No 9º ano, insiste-se, e bem, na construção que recorre ao triângulo retângulo OTP (inscrito numa semicircunferência de diâmetro OP, para ser retângulo no vértice do triângulo que é ao mesmo tempo o ponto de tangência seguro). Na ilustração dinâmica que se segue, o primeiro método é esse. Mas não será descabido deixar pistas de outras construções que, para além de tudo o resto, podem ser estudadas (e validadas) usando raciocínios dedutivos. O segundo método usa uma circunferência auxiliar, concêntrica e de raio 2r (cO2r) e, em vez da circunferência de diâmetro OP, usa uma circunferência centrada em P e raio OP.



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção