A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

22.11.10

Tirar tangentes a uma circunferência por um ponto exterior

No 9º ano de escolaridade, estudam-se os lugares geométricos: retas e segmentos, circunferências e círculo; inscrição de segmentos, ângulos e polígonos em círculos. No fundo estudam-se as posições relativas de cada uma delas relativamente a cada uma das outras e as propriedades decorrentes. Um ponto P pode estar sobre a circunferência de raio r centrada em O (r=OP), ser exterior (rOP) a ela. ou Uma recta a pode ser exterior a uma circunferência de raio r e centro O (r< d(O,a)), tangente (r=d(O,a)) ou secante (r>d(O,a)). O caso da tangente é o mais estudado já que a consequência imediata de r=d(O,t) é a tangente (t em T) ser perpendicular ao raio OT o que sugere fortemente uma construção com régua e compasso. No 9º ano, insiste-se, e bem, na construção que recorre ao triângulo retângulo OTP (inscrito numa semicircunferência de diâmetro OP, para ser retângulo no vértice do triângulo que é ao mesmo tempo o ponto de tangência seguro). Na ilustração dinâmica que se segue, o primeiro método é esse. Mas não será descabido deixar pistas de outras construções que, para além de tudo o resto, podem ser estudadas (e validadas) usando raciocínios dedutivos. O segundo método usa uma circunferência auxiliar, concêntrica e de raio 2r (cO2r) e, em vez da circunferência de diâmetro OP, usa uma circunferência centrada em P e raio OP.



18.11.10

Ponto de uma recta para ver dois pontos segundo um mesmo ângulo

O problema que agora propomos como exercício interactivo foi sugerido pela entrada anterior.
Temos dois pontos A e B de um mesmo semi-plano determinado por uma recta RS. O problema será determinar o ponto P da recta NS tal que são iguais os ângulo APN e BPS.
Os passos da resolução deste exercício são os mesmos de antigas respostas a outros enunciados.


16.11.10

De onde ver dois círculos sob o mesmo ângulo

Qual é o lugar geométrico dos pontos de que se vêem dois círculos sob o mesmo ângulo?

Há dois pontos que definem o lugar geométrico: os centro das homotetias O e O' que transformam uma circunferência na outra. Repare-se que cada tangente tirada por O (ou O') à circunferência de centro A é também tangente à circunferência de centro B.



11.11.10

Retângulos inscritos num triângulo e interseção das diagonais

Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?


10.11.10

Paralelas, secantes por um ponto e lugar da interseção de diagonais

Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB'e BA'?


9.11.10

Lugar da interseção das diagonais de um trapézio inscrito num triângulo

É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos P de interseção das retas BC' e CB'?


8.11.10

Triângulo: Pé da bissectriz de um ângulo com um lado fixo

O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?




O lugar geométrico do pé da bissectriz de A quando C percorre uma circunferência centrada em A e raio dado é uma circunferência. Como determina o seu centro?

5.11.10

Uma circunferência que roda e as tangentes com uma dada direção

Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?



A circunferência c roda em torno de P (um dos seus pontos). Para cada posição de c' há duas tangentes (t1 e t2) a c' paralelas a r (reta dada) e dois pontos de tangência (T1 e T2), cada um deles descrevendo a sua circunferência. Onde estarão os centros destas circunferências?

4.11.10

Trapézio com elementos fixos, lugar geométrico da interseção das diagonais

Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.



A animação da figura é feita de tal modo que se mantém rígido, na sua posição, o lado AD e se mantêm invariantes os comprimentos das bases bem como a sua direção. (Não sugere uma rotação no espaço em torno do lado AD?)
Nessa animação, o ponto de interseção das diagonais percorre uma circunferência. Isso significa que, para além do lado AD, há um ponto fixo (o centro da circunferência). Que ponto é esse e qual a sua posição relativamente aos elementos do trapézio?

Mais lugares geométricos básicos (Th. Caronnet)

  1. Determinar o lugar dos pontos de intersecção das diagonais de um trapézio em que um dos lados não paralelos é fixo e cujas bases têm comprimentos dados.
  2. Uma circunferência roda em torno de dos seus pontos. Em cada posição traçamos tangentes paralelas a uma reta fixa dada. Qual é o lugar dos pontos de tangência?
  3. O triângulo ABC tem os vértices A e B fixos, o vértice C descreve uma circunferência de raio dado e centro A. Qual é o lugar do pé da bissetriz do ângulo A?
  4. É dado um triângulo ABC. Traça-se uma paralela qualquer a BC e sejam B' e C' os seus pontos de interseção com os lados AB e AC. Qual é o lugar dos pontos M de interseção das retas BC' e CB'?
  5. Considere-se duas retas paralelas r e s e um ponto P. Por P traça-se uma secante fixa que encontra r em A e s em B e uma secante de direção variável que encontra r em A' e s em B'. Qual é o lugar dos pontos de interseção das retas AB´e BA'?
  6. Consideremos todos os retângulos inscritos num triângulo dado ABC e tendo um lado sobre BC. Qual é o lugar de interseção das sua diagonais?
  7. Seja o trapézio ABCD em que A e B são fixos, os lados paralelos têm comprimentos dados, AD=a e BC=b. Determinar o lugar dos pontos de interseção das diagonais quando o trapézio roda em torno do lado AB.
  8. Qual é o lugar dos pontos de que se vêm dois círculos sob o mesmo ângulo?

3.11.10

Lugar dos pontos de tangência em lado variável de ângulo de duas rectas

É dado um ângulo XÔY e um ponto A sobre OX. Seja c uma circunferência tangente a OX em A e a OY em B. Qual é o lugar dos pontos B quando OY roda com O fixo?


2.11.10

Ponto das tangentes a uma circunferência

Num ponto A de uma circunferência c traça-se a tangente à curva. Sobre a tangente tomam-se os pontos M e M' simétricos em relação a A. Qual é o lugar dos pontos M e M' quando A percorre a circunferência?




1.11.10

A circunferência reflectida numa das suas tangentes

São dadas uma circunferência c e a tangente t num ponto T da circunferência. Seja M' o simétrico de M em relação a t. Qual o lugar dos pontos M' quando M percorre a circunferência?


31.10.10

Euclides. Elementos, Livro VI - Proposição XXXIII C

A Mariana trouxe das leituras dos seus "Elementos de Euclides" a útlima proposição do Livro VI. Aqui fica uma construção dinâmica, acompanhada de resultados particulares para a figura (que pode fazer variar) e da demonstração copiada do papelinho que ela apresentou ao Lugar Geométrico.
António Aurélio interessou-se pelo tipo de problema e demonstração e logo apresentou outros resultados. O maquinista ainda disse que não era costume do blog, mas não parece ter comovido nenhum dos sentados no LUGAR. Sem poder vencê-los, junta-se a eles. Por isso, é bem possível que, na senda destes, outros resultados venham a ser publicados acompanhados de demonstrações. O futuro dirá.

Proposição:
Seja um qualquer triângulo, ABC, inscrito numa circunferência de raio r. Chamamos aos lados a=BC, b=AC e c=AB e ha à altura relativa a a tirada de A. Nestas condições, prova-se que bc=2rha.





29.10.10

Circunferências tangentes a retas dadas

Determinar o lugar dos centros das circunferências de raio dado, tangentes a uma reta dada.




O lugar geométrico dos centros das circunferências tangente a uma recta r é uma recta paralela a r distanciada dela o raio dado.


Qual é o lugar geométrico dos centros das circunferências tangentes a duas retas dadas?




Os centros das circunferências tangentes a duas retas r e s são equidistantes de r e s e, por isso, o seu lugar geométrico é a bissetriz do ângulo das duas rectas. Se r e s forme paralelas, o lugar geométrico é uma recta paralela às duas.

27.10.10

O mesmo da última entrada, experimentando com Geogebra

Experimentámos, usando GeoGebra, determinar a recta que passa por A e corta uma circunferência em dois pontos C e D equidistantes do ponto B dado.
Movimentando D sobre a circunferência, pode encontrar a recta que interessa. Explique porque é essa. Faça a sua construção com as ferramentas disponíveis e verifique.


26.10.10

Retas, circunferências e cordas

Um exercício interactivo sobre enunciado da lista de outros lugares geométricos:

São dados os pontos A e B e a circunferência c. Traçar por A uma reta que intersete c nos pontos C e D equidistantes de B.



25.10.10

O quinto básico lugar geométrico

O quinto enunciado da lista de exercícios da lista lugares geométricos básicos é:
São dadas duas circunferências de centros O e O’ e raios r e r’. Traçamos dois raios r e r’ paralelos e com o mesmo sentido. Qual é o lugar geométrico dos pontos médios M dos segmentos AA’ quando A e A’ se deslocam sobre as circunferências?

Aqui fica uma resolução que pode confirmar, com uma resolução autónoma. O que aconteceria se os raios não tivessem o mesmo sentido? Onde estará o centro da circunferência que passa por M?



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção