A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

10.3.10

Resolução II

Resolução do exercício:
Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado menor AB.

Tracemos o quadrado ABC’D’. Com centro no ponto K médio de BC’ tracemos o arco KD’ que determina C sobre a recta BC’. O rectângulo ABCD é rectângulo de ouro.



Nota: Clicando sobre ao alto da construção, abre um painel de repetir os passos da construção . Se sobre este painel, clicar sobre pode voltar ao início da construção, para depois poder seguir etapas da construção clicando em

9.3.10

Resolução

Resolução do exercício:
Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado maior AB.

Determinamos o ponto M que divide o segmento AB em média e extrema razão. Sobre a perpendicular a AB em A tomamos D tal que AD = AM. O rectângulo ABCD é rectângulo de ouro.


Nota: Clicando sobre ao alto da construção, abre um painel de repetir os passos da construção . Se sobre este painel, clicar sobre pode voltar ao início da construção, para depois poder seguir etapas da construção clicando em



Determinar um rectângulo de ouro (II)

Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado menor AB.


2.3.10

Determinar um rectângulo de ouro

Determinar um rectângulo de ouro de que se conhece o lado maior AB.


Média e extrema razão e número de ouro - comentário à margem


“É impossível explicar honestamente as belezas contidas nas leis da natureza, de uma forma que as pessoas possam senti-las, sem que elas tenham uma boa compreensão da Matemática”.

(RICHARD FEYNMAN)


A expressão que está ligada à divisão em extrema e média razão, (1 + √5)/2, tem como valor o “número de ouro”, 1,618034…
"Para que um todo dividido em duas partes desiguais pareça belo do ponto de vista da forma, deve apresentar a parte menor e a maior a mesma relação que entre esta e o todo." (Zeizing, matemático alemão, 1855)
Desde a escola pitagórica (possivelmente até mesmo antes) que a razão áurea tem sido largamente usada na criação artística, sobretudo em pintura, escultura, arquitectura.
A psicologia ainda não conseguiu explicar os processos mentais que nos levam a encontrar especial beleza e harmonia em certas formas bi ou tridimensional , mas … “Onde houver “harmonia” lá encontraremos o Número de Ouro” (“O Número de Ouro e a Secção Áurea”, Maria Salett Biembengut, 1996). Têm feito estudos em que, a um grupo de pessoas, é proposta a seguinte tarefa – escolher dentro de um conjunto de rectângulos aqueles que lhes parecem mais harmoniosos; verifica-se que são escolhidos, de forma significativa, os “rectângulos de ouro” ou com dimensões muito próximas.

São inúmeros os exemplos (que não referiremos por não estar no âmbito deste blogue) da presença do número de ouro na natureza: várias relações na anatomia humana, nas conchas de vários animais, em pétalas de flores, etc. Um exemplo: nas pessoas que são consideradas “esculturais”, verifica-se que a razão entre a altura e a altura do umbigo é … o número de ouro.

Mais um exemplo para quem ainda tenha dúvidas quanto à actualidade do número de ouro. Transcrevemos um trecho de um boletim de um banco português, referente a correções a efectuar em valores de acções:

“Na sequência de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ,89, ...), em que um algarismo é dado pela soma dos dois anteriores, a partir de determinada ordem o rácio de um número dividido pelo seu sucessor é de 61,8%. Este nível, juntamente com o 38,2% (100% - 61,8% = 38,2%), e o 50%, são chamados de níveis de correcção de Fibonacci. O de 61,8% é tido em conta nas correcções fortes de mercado, enquanto o de 38,2% para correcções mais fracas. Consequentemente, o rácio da divisão de um número na sequência de Fibonacci pelo seu antecessor é 161,8%, logo os níveis 138,2%, 150% e 161,8% são os mais usados em tendências positivas para as projecções de price target de Fibonacci. Considerando a primeira subida do índice no ano corrente, de Março a Maio, seguida de uma consolidação de dois meses, a projecção de Fibonacci de 161,8% coincide com o nível dos 250 pontos, acentuando a probabilidade de correcção no curto prazo.”

(Ramiro Loureiro, analista de acções; 
Sónia Martins, analista de acções
Market Analysis)

Como deve ter notado, 161,8 % ou 1,618 é Φ e 61,8 % ou 0,618 é 1/Φ.

Etiquetas:

Outra construção para obter a média e extrema razão.

Dado o segmento AB, pretendemos obter o ponto M que o divide em média e extrema razão.

  1. Construamos um quadrado de lado AB: seja ABCD.

  2. Seja E o ponto médio de AD.

  3. Com centro em E e raio EB, tracemos o arco que determina F na recta DA.

  4. A diagonal DG do rectângulo CDFG intersecta o segmento AB no ponto M pretendido.






Este rectângulo é tal que a razão entre os seus lados é Φ ≈ 1,618. A este número Φ chamamos número de ouro e ao rectângulo chamamos rectângulo de ouro.

Etiquetas:

1.3.10

Média e extrema razão – inversão – conjugado harmónico

Notemos o seguinte: as razões AM/AB e AM’’/AB são inversas; de facto, 1/0.618 = 1.618).


(Se não tem presente o conceito de inversão, pode recordá-lo na publicação que fizemos em 3/8/2007)
Isto equivale a dizer que o M’’ é inverso de M em relação a uma circunferência de raio AB.


Tomemos o ponto B’ simétrico de B em relação a A; verifica-se que M’’ é o conjugado harmónico de M em relação a BB’.

Etiquetas:

25.2.10

Outra divisão (subtractiva)

Deslocando o ponto N exteriormente ao segmento AB no sentido de B para A, notemos que a razão AB/NA varia de 0 a + , enquanto a razão NA/NB decresce de 1 a 0; existe, então uma posição de N para a qual as duas razões tomam o mesmo valor; designando essa posição de N por M’ temos AB/M’A = M’A/M’B. Ou seja, M’A é meio proporcional entre AB e M’B.

A circunferência, já traçada, com centro em C e raio CB intersectou a recta AC em D; mas também intersecta a recta AC em D´ (simétrico de D em relação a C); a circunferência com centro em A e raio AD’ intersecta a recta AB em M’.


Será possível determinar um outro ponto exterior ao segmento AB no sentido de A para B ? É evidente que não, visto que a distância de N a A é superior à distancia a B e ao comprimento de AB; logo AN não poderia ser meio proporcional entre AB e NB.

Em conclusão, numa recta AB, existem dois e só dois pontos, M e M’, que dividem o segmento AB em média e extrema razão em que AM (AM’) é meio proporcional entre AB e MB (MB’):
- M é interior ao segmento AB e os segmentos AM e MB são aditivos;
- M’ é exterior ao segmento AB e os segmentos M’A e M’B são subtractivos.

Etiquetas: ,

23.2.10

Construção da divisão em média e extrema razão

Dado um segmento AB, vamos referir uma das construções que nos permitem obter o ponto M que o divide em extrema e média razão:

  • tracemos a perpendicular a AB em B;

  • sobre ela tomemos o segmento CB de comprimento AB/2;

  • com centro em C e raio CB, tracemos a circunferência que intersecta a recta AC em D;

  • com centro em A e raio AD, tracemos a circunferência que intersecta o segmento AB em M.



Por comodidade, tomemos AB = 1; designemos por x o comprimento de AM. Como AB/AM = AM/MB, vem 1/x = x/(1-x) ou x2 + x –1 = 0 ; a raiz positiva desta equação é (√ 5 – 1)/2. Logo o valor da razão AM/MB = (√5 + 1)/2 ≈ 1.61803.

O quociente entre a razão extrema e a razão média foi chamada “razão áurea” ; o seu valor, 1.618…, é o “número de ouro”, designado por Φ em homenagem a Fídias que o utilizou para obter as harmoniosas proporções do Parténon.

Etiquetas:

Média e extrema razão

“A geometria possui dois grandes tesouros: um é o teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de uma linha em extrema e média razão.” (KEPLER)

Supõe-se que o conceito de média e extrema razão se deve à escola pitagórica como resultado do seu afã de descobrir relações numéricas que exprimissem as harmonias da natureza. Foi através dos Elementos de Euclides que o conceito chegou aos nossos dias.
Dado o segmento AB, pretende-se dividi-lo em “duas partes desiguais tal que a parte menor e a maior estejam na mesma razão que entre a maior e o todo."
Foi aproximadamente nestes termos que Euclides, há 2300 anos, pôs o problema no Livro VI dos seus Elementos.



Por outras palavras: para dividir um segmento na razão média e extrema, a razão existente entre o comprimento do segmento inteiro e o de sua maior divisão (razão extrema) é igual à razão entre o comprimento desta maior divisão e o da menor (razão média)
Dado um segmento AB, trata-se de determinar um ponto M do segmento tal que o segmento AM seja o meio proporcional entre o segmento AB e o segmento MB. Ou seja, pretende-se determinar o ponto M para o qual são iguais as razões AB/AM e AM/MB.



O segmento AB tem comprimento constante; para facilitar, tomemos AB = 1. Então o comprimento de AM varia entre 0 e 1; logo a razão AB/AM varia de +∞ a 1, enquanto a razão AM/MB varia de 0 a +∞ . Há uma e uma só posição de M para a qual as duas razões são iguais: AB/AM = AM/MB.
Na figura abaixo, pode deslocar um ponto N do segmento AB e verificar que existe de facto apenas uma posição que iguala as duas razões: quando N coincide com M.


Etiquetas:

20.2.10

Divisão harmónica, usando paralelas e secantes

Sejam A,B e C colineares, Podemos determinar o quarto harmónico D, fazendo passar por C uma recta concorrente CE qualquer e por A uma AE, e por B tirar uma paralela a AE, BF. Sobre esta BF, determinar um ponto G tal que |BG|=|BF|. EG intersecta AB em D.

Na construção dinâmica que se segue, pode deslocar A, B, C, E para observar a consequência das mudanças.




Etiquetas: ,

19.2.10

A divisão harmónica por outra via

Tomando um triângulo rectângulo em P de hipotenusa AB. Seja C de [AB]. Para D sobre AB tal que PB é a bissectriz do ângulo DPC, (A,B,C,D) é um quaterno harmónico. Segue a construção dinâmica correspondente, em que pode deslocar P, mantendo ABC e vendo que D se mantém invariante. Também pode variar A, B e C e verificando que se mantêm as razões harmónicas.... com D determinado, usando PC como bissectriz de CPD.


Etiquetas: , ,

De outro modo, a divisão harmónica

As propriedades do quaterno harmónico da entrada anterior, particularmente, aquela que se refere ao facto de num quaterno harmónico (A,B;C,D), ser C o inverso de D relativamente à circunferência de diâmetro [AB] sugere que, tomados A,B e C, se pode obter o quarto harmónico D, usando a circunferência de diâmetro [AB].
Isso mesmo fica ilustrado na figura dinâmica que se segue.



Etiquetas: ,

15.2.10

A divisão harmónica é o que parece

Na figura dinâmica abaixo, (A,B;C,D) é um quaterno harmónico. Pode deslocar A e B, observando que:


  1. |CA|.|DB|=|CB|.|DA|

  2. Sendo J o ponto médio de CD,| JC|=|JD|, |AC|.|AD|=|AB|.|AJ| equivamente a

  3. 2/|AB|=1/|AC| +1/|AD| - relação de Descartes - que é o mesmo que

  4. |AB|=(2|AC|.|AD|)/(|AC|+|AD|) - |AB| é a média harmónica de |AC| e |AD|.

  5. Sendo I o ponto médio de AB, |IA|=|IB|, |IA|2= |IC|.|ID| - relação de Newton - e é claro que

  6. sendo J o ponto médio de CD, |JC|2=|JA|.|JB| ou: B é o inverso de A relativamente à circunferência de diâmetro |CD|






Etiquetas: , ,

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção