A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

23.1.10

Exercício usando reflexão

Temos vindo a propor alguns exercícios elementares com transformações geométricas do plano.
Aqui propomos a construção do transformado de um triângulo pela reflexão de eixo e (a preto)

Na construção dinâmica que se segue, pode usar as ferramentas disponíveis para construir a imagem do triângulo, como pode seguir a nossa proposta clicando sobre o botão ?



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21.1.10

Homotetia e circunferência

Para duas figuras homotéticas, há sempre mais que uma homotetia que transforma uma na outra?
No exercício interactivo que apresentamos a seguir, esperamos que determine a circunferência homotética da circunferência dada, pela homotetia de centro em C (dado sobre a circunferência) e razão -1/3.

Para resolver o exercício, pode usar as ferramentas disponíveis e pode deslocar os elementos usando o primeiro botão da esquerda e o rato. Se quiser ver a solução bastará clicar no botão ?.

Depois de obter a solução - círculo de centro O' que passa por C(?) -, se clicar mais uma vez no botão ? aparecer-lhe-á uma circunferência de centro em O que passa por O' que é homotétrica da original. Qual é a razão desta homotetia?'
Haverá mais alguma homotetia a transformar, uma na outra, as circunferências que passam por C de centros em O e O'?



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13.1.10

Homotetia

Exercício interactivo:
Há sempre uma homotetia que transforma um segmento noutro paralelo. Propomos que determine o(s) centro(s) da(s) homotetia(s) que transforma(m) AB em CD.
Para resolver o exercício, pode usar as ferramentas disponíveis e pode deslocar os elementos usando o primeiro botão da esquerda e o rato. Se quiser ver a solução bastará clicar no botão ?.



12.1.10

Meia volta com Cinderella

Exercício interactivo.
À medida que for construindo a sua resolução, verá designações para os novos elementos que confirmam se a construção está correcta. No fim, se quiser confirmar a correcção do seu trabalho clique sobre o botão ? e, caso esteja tido bem, o computador confirmará, na caixa de texto, com "Muito bem".


Ainda usando rotações

O problema de determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre três rectas paralelas, já publicado mais que uma vez, sugere as rotações como suporte para determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre circunferências concêntricas.
Tomemos três circunferências - a, b, c - concêntricas quaisquer (centro em O). Tal como fizemos para as rectas paralelas, tomemos um ponto qualquer para um primeiro vértice, seja A sobre a. Apliquemos uma rotação do plano de 60º em torno de A. O centro O vai para O' sobre a e a circunferência b vai para b'. Se tomarmos para C (=B') o ponto de b' que está sobre c, rodando em torno de A e amplitude 60º no sentido contrário, obteremos B sobre b.



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11.1.10

Usando homotetias para aceitar a recta de Euler

Seja o triângulo ABC, de baricentro G, ortocentro H e circuncentro O. Prova-se que
G, H e O são colineares (estão sobre uma mesma recta - recta de Euler) e |GH|=2|GO|.

Este resultado, muito conhecido e muito usado, pode ser provado com recurso a homotetias.
A homotetia de centro em G e razão 2 transforma o triângulo ABC no triângulo A'B'C'. (A, G A' são colineares e |A'G|=2|AG|, ... AB//A'B' e 2|AB|=|A'B'|, ...). O circuncírculo de A'B'C' tem centro em H ( já que a recta da altura de ABC relativa ao vértice A é a mediatriz de B'C', ...). Aquela homotetia de centro em G e razão 2 transforma o círculo de centro em O que passa por ABC no círculo de centro em H que passa por A'B'C', transforma O em H. Por isso H,G e O são colineares e |GH|=2|GO|.



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Nota sobre a determinação do arco capaz.

É necessário saber determinar o arco capaz de um dado ângulo B relativamente a um segmento AC. Para a resolução de variados problemas. No fundo, trata-se de encontrar o circuncírculo de um triângulo ABC de que se conhece um lado e o respectivo ângulo oposto. Com a construção dinâmica que se segue podemos verificar porque é bom o processso usado na entrada anterior, em que determinámos o circuncírculo de um triângulo de que conhecíamos um ângulo e o seu lado oposto..
Na figura, tomamos um ângulo qualquer, ABC, inscrito numa circunferência de centro O que passa por A, B e C. O ângulo AOC é duplo de ABC. O triângulo AOC é isósceles (OA=OC=raio), OAC=ACO= (180-AOC)/2=90-ABC, 90=ABC+OAC. Por isso, se tomarmos PAC=ABC, PAO=90. Desenhado PAC(=ABC), a perpendicular a PA passa por O. Tomado PCA=ABC, a perpendicular a
PC passa por O. A mediatriz de AC também passa por O.


5.1.10

Usando homotetias (II)

Determinar um triângulo ABC de que se conhece o lado a=BC, o ângulo  e o comprimento da mediana mb ou BMb, em que Mb é o ponto médio do lado AC
é um problema de construção que se pode resolver com recurso a homotetias.

Pode seguir a nossa construção, passo a passo:





Podemos determinar o circuncírculo de ABC, determinando o arco capaz do ângulo  sobre BC . O ponto Mb está à distância mb de B e sobre a circunferência homotética da circunscrita pela homotetia de centro em C e razão 1/2. E claro que A é a imagem de Mb pela homotetia de centro C e razão 2.

2.1.10

Usando homotetias (I)

Inscrever num triângulo ABC um quadrado que tenha um dos lados sobre o lado maior do triângulo é um dos exemplos de problema, dados por Puig Adam, que é resolvido com um homotetia.
Pode seguir os passos da resolução na construção dinâmica que se segue:



29.12.09

Usando rotações

Dadas duas rectas a e b e um ponto P não incidente em qualquer delas, determinar um quadrado com vértice em P e sobre cada recta a e b um dos dois vértices adjacentes a P
Pode seguir a nossa resolução pelos passos da construção que apresentamos a seguir.

Tomamos um ponto qualquer de a, A'. O quadrado de lado A'P tem um vértice sobre a. O vértice oposto a A' e adjacente a P pode obter-se rodando A' de um quarto de volta em torno de P. Esta rotação leva a para a recta a' a ela perpendicular que intersecta b num ponto B. Rodando (em sentido contrário ao de A' para B') de um quarto de volta em torno de P, a' vai para a e B vai para A sobre a. Claro que há mais uma solução ..... Faça variar a ou b até a e b serem perpendiculares. O que acontece nesse caso?






Puig Adam sugere que se resolvam, pelo mesmo processo, os seguintes problemas:


  1. Determinar um triângulo com os três vértices sobre três paralelas dadas (já resolvido numa das entradas) ou sobre três circunferências concêntricas

  2. Inscrever um triângulo equilátero num quadrado de modo que tenham um vértice em comum

  3. Inscrever num paralelogramo um rectângulo cujas diagonais façam um dado ângulo


28.12.09

Usando reflexões (II)

Construir um triângulo de que se conhecem dois lados BC e AC e a diferença dos ãngulos a eles opostos é um problema que se resolve se nos lembrarmos que a mediatriz do lado AB em falta é eixo de uma reflexão que leva de A para B.
Se designarmos por C' a imagem de C por essa reflexão, temos um trapézio isósceles ACC'B, de diagonais iguais AC'=BC. Também sabemos que, relativamente aos ângulos, C'AC=C'BC=A-B. Conhecido AC, e tomado um A, determinamos C. Conhecido A-B =C'AC e sabendo que é dado BC (=AC'), determinamos C' a partir de A.
Isto mesmo pode seguir, passo a passo, na construção dinâmica que apresentamos a seguir.



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção