13.1.10

Homotetia

Exercício interactivo:
Há sempre uma homotetia que transforma um segmento noutro paralelo. Propomos que determine o(s) centro(s) da(s) homotetia(s) que transforma(m) AB em CD.
Para resolver o exercício, pode usar as ferramentas disponíveis e pode deslocar os elementos usando o primeiro botão da esquerda e o rato. Se quiser ver a solução bastará clicar no botão ?.



12.1.10

Meia volta com Cinderella

Exercício interactivo.
À medida que for construindo a sua resolução, verá designações para os novos elementos que confirmam se a construção está correcta. No fim, se quiser confirmar a correcção do seu trabalho clique sobre o botão ? e, caso esteja tido bem, o computador confirmará, na caixa de texto, com "Muito bem".


Ainda usando rotações

O problema de determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre três rectas paralelas, já publicado mais que uma vez, sugere as rotações como suporte para determinar um triângulo equilátero com os vértices sobre circunferências concêntricas.
Tomemos três circunferências - a, b, c - concêntricas quaisquer (centro em O). Tal como fizemos para as rectas paralelas, tomemos um ponto qualquer para um primeiro vértice, seja A sobre a. Apliquemos uma rotação do plano de 60º em torno de A. O centro O vai para O' sobre a e a circunferência b vai para b'. Se tomarmos para C (=B') o ponto de b' que está sobre c, rodando em torno de A e amplitude 60º no sentido contrário, obteremos B sobre b.



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11.1.10

Usando homotetias para aceitar a recta de Euler

Seja o triângulo ABC, de baricentro G, ortocentro H e circuncentro O. Prova-se que
G, H e O são colineares (estão sobre uma mesma recta - recta de Euler) e |GH|=2|GO|.

Este resultado, muito conhecido e muito usado, pode ser provado com recurso a homotetias.
A homotetia de centro em G e razão 2 transforma o triângulo ABC no triângulo A'B'C'. (A, G A' são colineares e |A'G|=2|AG|, ... AB//A'B' e 2|AB|=|A'B'|, ...). O circuncírculo de A'B'C' tem centro em H ( já que a recta da altura de ABC relativa ao vértice A é a mediatriz de B'C', ...). Aquela homotetia de centro em G e razão 2 transforma o círculo de centro em O que passa por ABC no círculo de centro em H que passa por A'B'C', transforma O em H. Por isso H,G e O são colineares e |GH|=2|GO|.



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Nota sobre a determinação do arco capaz.

É necessário saber determinar o arco capaz de um dado ângulo B relativamente a um segmento AC. Para a resolução de variados problemas. No fundo, trata-se de encontrar o circuncírculo de um triângulo ABC de que se conhece um lado e o respectivo ângulo oposto. Com a construção dinâmica que se segue podemos verificar porque é bom o processso usado na entrada anterior, em que determinámos o circuncírculo de um triângulo de que conhecíamos um ângulo e o seu lado oposto..
Na figura, tomamos um ângulo qualquer, ABC, inscrito numa circunferência de centro O que passa por A, B e C. O ângulo AOC é duplo de ABC. O triângulo AOC é isósceles (OA=OC=raio), OAC=ACO= (180-AOC)/2=90-ABC, 90=ABC+OAC. Por isso, se tomarmos PAC=ABC, PAO=90. Desenhado PAC(=ABC), a perpendicular a PA passa por O. Tomado PCA=ABC, a perpendicular a
PC passa por O. A mediatriz de AC também passa por O.


5.1.10

Usando homotetias (II)

Determinar um triângulo ABC de que se conhece o lado a=BC, o ângulo  e o comprimento da mediana mb ou BMb, em que Mb é o ponto médio do lado AC
é um problema de construção que se pode resolver com recurso a homotetias.

Pode seguir a nossa construção, passo a passo:





Podemos determinar o circuncírculo de ABC, determinando o arco capaz do ângulo  sobre BC . O ponto Mb está à distância mb de B e sobre a circunferência homotética da circunscrita pela homotetia de centro em C e razão 1/2. E claro que A é a imagem de Mb pela homotetia de centro C e razão 2.

2.1.10

Usando homotetias (I)

Inscrever num triângulo ABC um quadrado que tenha um dos lados sobre o lado maior do triângulo é um dos exemplos de problema, dados por Puig Adam, que é resolvido com um homotetia.
Pode seguir os passos da resolução na construção dinâmica que se segue:



29.12.09

Usando rotações

Dadas duas rectas a e b e um ponto P não incidente em qualquer delas, determinar um quadrado com vértice em P e sobre cada recta a e b um dos dois vértices adjacentes a P
Pode seguir a nossa resolução pelos passos da construção que apresentamos a seguir.

Tomamos um ponto qualquer de a, A'. O quadrado de lado A'P tem um vértice sobre a. O vértice oposto a A' e adjacente a P pode obter-se rodando A' de um quarto de volta em torno de P. Esta rotação leva a para a recta a' a ela perpendicular que intersecta b num ponto B. Rodando (em sentido contrário ao de A' para B') de um quarto de volta em torno de P, a' vai para a e B vai para A sobre a. Claro que há mais uma solução ..... Faça variar a ou b até a e b serem perpendiculares. O que acontece nesse caso?






Puig Adam sugere que se resolvam, pelo mesmo processo, os seguintes problemas:


  1. Determinar um triângulo com os três vértices sobre três paralelas dadas (já resolvido numa das entradas) ou sobre três circunferências concêntricas

  2. Inscrever um triângulo equilátero num quadrado de modo que tenham um vértice em comum

  3. Inscrever num paralelogramo um rectângulo cujas diagonais façam um dado ângulo


28.12.09

Usando reflexões (II)

Construir um triângulo de que se conhecem dois lados BC e AC e a diferença dos ãngulos a eles opostos é um problema que se resolve se nos lembrarmos que a mediatriz do lado AB em falta é eixo de uma reflexão que leva de A para B.
Se designarmos por C' a imagem de C por essa reflexão, temos um trapézio isósceles ACC'B, de diagonais iguais AC'=BC. Também sabemos que, relativamente aos ângulos, C'AC=C'BC=A-B. Conhecido AC, e tomado um A, determinamos C. Conhecido A-B =C'AC e sabendo que é dado BC (=AC'), determinamos C' a partir de A.
Isto mesmo pode seguir, passo a passo, na construção dinâmica que apresentamos a seguir.



23.12.09

Usando reflexões

Para resolver o problema
“Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”
podemos pensar de outro modo, agora usando meias voltas centradas em F, por exemplo. [Pode seguir, em grandes passadas, a construção da figura usando os botões.)





Podemos, portanto, seguir os seguintes passos para a resolução do problema:

  • Construimos o triângulo BCA’ cujos lados são conhecidos: BC é dado, CA’ = AD, BA’ = 2 EF.

  • O ponto F está a uma distância EB do ponto M médio do segmento BA’ e a uma distância CD/2 do ponto C; é. pois, a intersecção de duas circunferências.

  • Obtido F, temos o vértice D.Sobre a paralela a CA’ por D, tomamos um ponto cuja distância a D seja igual a AD.


Temos assim o quadrilátero construído de acordo com os dados.

22.12.09

Problema para resolver

Considere os cinco comprimentos (dados no quadro dinâmico que se segue) como comprimentos dos lados do quadrilátero ABCD e do segmento que une os pontos médios E e F dos lados AB e CD. Usando os resultados referidos na entrada anterior, construa o quadrilátero ABCD.



2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção