A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

5.12.09

Usando translações

Há problemas cuja solução se pode obter recorrendo à transformação por translação. É o caso do seguinte, proposto por Puig Adam: “Construir um quadrilátero de que são dados os comprimentos dos lados e o comprimento de um segmento que une os pontos médios de dois dos lados opostos”. Propomos que siga os passos previstos na construção que se segue, observe as figuras construídas (por translação) a partir do quadrilátero original e as suas propriedades. O conhecimento dessas propriedades e relações entre os seus elementos permite resolver o problema proposto.


Das medianas ao triângulo, com translações

No seu Curso de Geometria Métrica para engenheiros, existente na nossa Escola José Estêvão, Puig Adam apresenta alguns exercícios como exemplos de aplicação de transformações geométricas. Um deles consiste em construir um triângulo de que se conhecem as medianas.Pode ser um problema simples. Ou não.

Relativamente a esse exercício (que nos lembramos de ter tentado resolver noutras circunstâncias), juntamos aquilo que lemos ou vimos como sugestões do autor.
Da construção seguinte recomendamos que siga os passos pela ordem assinalada, procurando verificar todas as propriedades e relações dos elementos dos triângulos HIJ e AKH com os elementos do triãngulo ABC.



O triângulo HIJ, que é mostrado no primeiro passo , tem os lados paralelos aos lados de ABC (paralelas tiradas por cada vértice oposto a cada lado) com comprimento duplo, sendo tal que os vértices do primeiro ABC são pontos médios dos lados de HIJ e as medianas deste (HA, IB e JC) contêm as medianas de ABC (respectivamente AD, BE e CF) sendo AH=2AD, IB=2BE e JC=2CF.
O segundo passo mostra-nos o triângulo AKH cujos lados são os dobros das medianas de ABC (AH, IB, e JC, como pode ver-se facilmente - lados opostos de paralelogramos: AH , AK//BI e KH//CJ). Este triângulo tem o seu baricentro em B e é, dom mesmo modo, imediato verificar que AB, BK e BH têm comprimentos iguais aos lados AB, BC e AC.
Fica , deste modo, claro que um triângulo cujos lados sejam iguais a dobros das medianas dadas de um triângulo ABC, fornecem os comprimentos dos lados de ABC.


Verá que isso resolve o problema seguinte:



Determinar um triângulo ABC de que se conhecem as medianas

Pode clicar sobre a área de trabalho seguinte para tentar determinar o triângulo de vértice A que tem m1,m2 e m3. Pode depois comparar com a nossa proposta de solução. Ou pode ver os dois passos da nossa solução à luz dos resultados vistos com a construção anterior.





A nossa proposta de resolução do exercício proposto, consiste na construção do triângulo AKH com lados iguais aos dobros das medianas dadas e determinando B como centro de garvidade de AKH e C como quarto vértice do paralelogramo ABKH. Só isso.



Tente depois o seguinte
Construir um triãngulo de que se conhecem dois lados e a mediana que passa pela intersecção dos dois.
também proposto por Puig Adam.

Puig Adam - método das transformações para resolução de problemas

Nas últimas entradas seguimos a terminologia de Lucien Godeaux. De forma diferente, Puig Adam, no seu Curso de Gometria Métrica já aqui referido várias vezes, chama geometria métrica ao que Godeaux classifica como geometria euclidiana. Escreve Puig Adam que "as propriedades da geometria métrica são invariantes para os grupos dos movimentos (deslocamentos para Godeaux) e das semelhanças". Refere que as propriedades "da igualdade entre elementos, entre suas somas ou diferenças, entre as suas razões, entre as suas medidas e entre produtos de medidas, etc são as que permanecem invariantes ao aplicar à figura qualquer movimento ou ao transformar a figura por homotetia ou semelhança" Refere ainda que " ao estudar a inversão ...também se ocupou preferencialmente das figuras e propriedades que relativamente a ela se mantêm invariantes". Para a seguir escrever que" esta ideia de grupo d transformações e de propriedade invariante , é que permitiu ao geómetra alemão Klein sistematizar e definir elegantemente as diferentes geometrias como conjuntos de propriedades invariantes das figuras relativamente a cada grupo de transformações característico de cada uma delas, acrescentando que " esta ideia não só se reveste de transcendente importância teórica" como " permitiu descobrir analogias entre grandes grupos de problemas que apareciam sem qualquer conexão na geometria clássica grega e aos quais hoje se podem aplicar-se métodos gerais usando transformações que... ajudam o engenho dos solucionadores". E esclarece a ideia geral para a aplicação dos novos métodos: " Obervar se é mais simples resolver o problema transformando a figura, ou parte dela, por translação, rotação, reflexão, homotetia, semelhança ou inversão, constrói-se sobre a figura transformada e obtido o resultado, aplica-se a transformação inversa para voltar à figura primitiva. A classe das relações e de dados que definem a figura sugerirá, com frequência, o género de transformação conveniente para que, deixando invariantes estas relações, transformará os dados ou a figura em outra de mais fácil determinação "

Com esta entrada, mostramos que não são determinantes as classificações e que elas variam com o tempo e os autores. O que é importante é a compreensão do que sejam as transformações geométricas e as propriedades invariantes das figuras para cada uma ou algum conjunto delas e compostas. À maneira de Puig Adam, achamos que os exemplos de exercícios são mais esclarecedores que as exposições genéricas que se possam dar. Já apresentámos alguns exemplos em anteriores entradas. Tanto Puig Adam como Godeaux e a generalidade dos autores utilizaram a palavra simetria para se referirem à transformação geométrica agora nomeada como reflexão.

1.12.09

Geometria Euclidiana

Até agora, temos andado a ver alguns definições e resultados e a resolver alguns problemas de geometria métrica. Como vimos o conjunto dos deslocamentos do plano (translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes) munidos do produto (composição de transformações) constitui um grupo a que chamámos o grupos principal da geometria métrica que se pode definir como o conjunto das propriedades das figuras que não são alteradas quando se submetem a translações, rotações e reflexões.

No entanto, a Geometria Euclidiana não se limita às propriedades das figuras congruentes (iguais por sobreposição), também estuda as propriedades das figuras semelhantes.

Por isso, o grupo principal da geometria euclidiana contém o grupo principal da geometria métrica e uma nova transformação geométrica a que chamamos homotetia de centro O e razão k que faz corresponder a cada ponto M do plano um ponto M’ situado sobre a recta OM e tal que OM’=k.OM. Esta definição de homotetia é comum ao plano e ao espaço.

Dois triângulos são semelhantes se tiverem os ângulos iguais cada um a cada um e a razão entre os lados opostos aos ângulos iguais for constante.
Vejamos como transformar (geometricamente) um triângulo noutro semelhante. Clicando duas vezes sobre a área de trabalho fica a trabalhar com todas as ferramentas do GeoGebra e pode procurar os deslocamentos e a homotetia que levam de A'B'C' para ABC. Ou pode ver, usando os botões apropriados pela ordem indicada, as nossas propostas.





Tomámos dois triângulos semelhantes [ABC] e (A'B'C', sendo os ângulos A, B e C respectivamente iguais aos ângulos A', B' C'. Por meio de deslocamentos do plano , podemos levar de [A'B'C'] a uma nova posição [A''B''C''] tal que A' venha coincidir com A, B' com um ponto B'' da recta AB e C' com um ponto C'' da recta AC. Os triângulos [ABC] e [AB''C''] são semelhantes e os lados BC e B''C'' são paralelos. AB''/AB=AC''/AC=k. Podemos passar do triângulo AB''C'' para o triângulo [ABC] fazendo corresponder a cada ponto M'' do plano um ponto M situado sobre a recta AM'' e tal que AM''=k.AM que transforma B'' em B e C'' em C.

O conjunto dos deslocamentos (isometrias) e das homotetias do espaço constituem o grupo das semelhanças do espaço que é o grupo principal para a geometria euclidiana do plano (imediatamente generalizada ao espaço). A geometria euclidiana consiste no estudo das propriedades das figuras que ficam invariantes relativamente às transformações deste grupo.

(seguindo Lucien Godeaux, As Geometrias, (Que sais je? da PUF para a Col Saber da PEA com trad. de Silva Paulo)

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29.11.09

A reflexão deslizante

Uma composta de uma rotação com reflexão pode ser substituída por uma composta de translação com reflexão. Agora, com a construção que se segue, só nos interessa mostrar como a composta de qualquer translação com qualquer reflexão pode sempre ser substituída pela composta de uma reflexão com uma translação tais que o eixo da reflexão tem a mesma direcção do vector da translação. Pode verificar, desocultando a solução que apresentamos.






A transformação a vermelho que leva A para A'' , B para B'' e C para C'', é composta de uma reflexão relativamente a b que leva A para A'1, B para B'1 e C para C'1 com a translação que leva A'1 para A'', etc sendo A'1A'' paralela a b. As transformações assim definidas tomam o nome natural de reflexões deslizantes. Assim, podemos resumir os deslocamentos do plano que deixam invariantes os comprimentos (as distâncias), ao conjunto formado por todas as translações, rotações, reflexões e reflexões deslizantes. Este conjutno é fechado para a operação produto ou composição e é um grupo (fechado para o produto, associativo, com elemento neutro - identidade, e em que para cada transformação há uma outra que a neutraliza). Pelos exemplos apresentados também ficámos a saber que a composição é comutativa ou que este grupo das transformações geométricas do plano é abeliano.

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Reflexões e rotações <-> reflexões e translações

A composta de duas translações é uma translação, a composta de duas rotações é uma rotação, a composta de duas reflexões não é uma reflexão mas pode ser uma rotação ou uma translação, a composta de uma translação com uma rotação é uma rotação... A composta de uma rotação com uma reflexão pode não ser qualquer das anteriores. Não é. É qualquer coisa de diferente. Pode tentar ver isso procurando eixo de reflexão, centro de rotação ou vector de translação que leve de A para A''. Tente com o exemplo que damos a seguir (dois "clics" seguidos na área de trabalho e abre o geogebra).

Na construção dinâmica, que se segue, mostra-se que uma rotação (que leva de A' para A'') depois de uma reflexão (que leva de A para A') pode dar o mesmo resultado que uma translação seguida de uma reflexão ( a levar de A para A'')... Pode procurar a translação e a reflexão que a segue (ou precede) com esse fim. E pode verificar, desocultando a solução que apresentamos.




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25.11.09

Composta de uma translação com uma rotação

Em entradas anteriores, resolvemos problemas que as transformações geométricas ajudam a resolver e vimos alguns resultados sobre compostas de translações, rotações, reflexões. Particularmente, vimos que a composta de duas translações é uma translação, que a composta de duas rotações é uma rotação, enquanto que a composta de duas reflexões não é uma reflexão mas pode ser uma rotação ou uma translação. Pode ser interessante ver o que é a composta de uma translação com uma rotação. E tem especial importância ver o que pode ser a composta de uma translação com uma reflexão. Como será a composta de uma rotação com uma reflexão? Como será a composta de três reflexões? Lá iremos.

Comecemos pela composta de uma translação do plano (que transforma A em A', ...) com uma rotação do plano (que transforma A' em A'', ...). Sabemos que há uma rotação do plano que transforma A em A'', B em B'' e C em C''. O exercício que pode fazer é encontrar o centro dessa rotação e o respectivo ângulo de rotação. Pode veriicar a sua resolução, desocultando a nossa solução.



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22.11.09

Problema usando translações e reflexões

Dadas duas rectas a e b, determinar a circunferência de raio dado que é tangente às duas rectas dadas.

Na construção dinâmica que se segue, pode fazer variar as rectas. Para cada raio (da circunferência visível a castanho), pode estabelecer uma conjectura, deslocando T sobre a e a circunferência de raio dado. Pode determinar a solução usando as ferramentas disponíveis. E pode depois verificar se encontrou a solução, comparando com aquela que é apresentada.





Há mais do que uma maneira de resolver o problema. No caso, seguimos uma sugestão de translação (deslocamento de um segmento perpendicular a a e de comprimento igual ao raio, já que se a é tangente à circunferência c a é perpendicular ao raio de extremo no ponto de tangência). E há uma reflexão do plano que faz corresponder a cada ponto da recta a um só ponto da recta b.
De outro modo:
Podíamos partir da constatação de que a figura do plano constituída por duas rectas quaisquer admite um eixo de simetria e desenhar a circunferência de raio dado, para depois realizar o deslocamento por translação(?) do centro arbitrário sobre a bissectriz ...

20.11.09

Problema usando rotações

Tomem-se três rectas paralelas a, b e c (quaisquer). Determinar um triângulo equilátero ABC que tenha A sobre a, B sobre b e C sobre c.

O problema resolve-se usando rotações de 60º com centro num ponto qualquer da recta a, A.




Por rotação de b, obtém-se b'. A cada ponto Y de b' corresponde um ponto X de b tal que XÂY=60º. Se tomarmos C como a intersecção de b' com c, corresponde-lhe B sobre b. O triângulo assim obtido é obviamente equilátero: AB=AC (raios de uma mesma circunferência) e BÂC=60º. Na resolução dinâmica que apresentamos aqui pode deslocar as rectas a, b e c, assim como A.

Claro que há outras soluções, não só porque um dos vértices (A no caso) é um ponto arbitrário de uma das rectas paralelas (no caso a), mas também porque podia tomar-se a rotação num sentido ou noutro.

18.11.09

Problema usando translações

Há um problema clássico de mínimos que aparece sugerido de novo por Paulo Ventura Araújo no seu Curso de Geometria (já referido neste lugar mais do que uma vez) com a indicação de que usa translações [T]. É verdade, mas, de um modo geral, nem se pensa nisso quando estamos a trabalhar com paralelogramos.
O problema do nó da auto-estrada que é o do primeiro problema (usando reflexões) de calcular a distância mais curta entre duas cidades, passando por um ponto de um recta, pode ser retomado com a localização de uma ponte numa dada direcção de tal modo que seja mínimo o percurso entre duas cidades de lados opostos do rio.

Sejam dados dois pontos A e B e duas rectas paralelas a e b cortadas por uma recta r. Determinar P sobre a e Q sobre b, de tal modo que PQ seja paralela a r e AP+PQ+QB seja mínima.


Pode mudar as rectas a, b e r, bem como os pontos A e B.
Para cada situação, pode conjecturar quais são os pontos P e Q da distância mínima e pode, desocultando a solução, verificar se acertou. Pode justificar de forma muito simples porque é aquela a solução e tentar reconstruí-la.



17.11.09

Segundo problema usando reflexões - 3

Na entrada Problemas usando reflexão enunciava-se o seguinte problema:
Dados dois pontos A e B, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando A a B?
Na construção dinâmica que se segue, para além da possibilidade de conjecturar, pode ver a solução




Ao tomar as imagens A'r e B's por reflexões de A relativamente a r e de B relativamente a s, ficamos com o segmento de recta A'r B's.
A'r B's=AR+RS+SB mínimo, porque A'rR=AR e B'sS=BS.

16.11.09

Problema usando reflexões

O problema resolvido na entrada anterior é muito intersssante. Aparece associado a múltiplos contextos e para ser abordado e resolvido usando ferramentas diversas. Torna-se ainda mais interessante se virmos que o mesmo raciocínio envolvendo reflexões permite resolver outros problemas. Por exemplo,

De entre todos os triângulos com um dada base e altura a ela relativa, determinar qual deles tem perímetro mínimo.
Na ilustração que se segue pode tomar várias bases e alturas e procurar, para cada par(base,altura) o triângulo de perímetro mínimo.



De facto, este problema é equivalente ao da entrada anterior, já que, fixada a base a altura, andamos à procura do caminho mais curto a partir de um vértice da base e até ao outro, passando por uma recta paralela à base e dela distanciada a altura dada.

10.11.09

Problemas usando reflexões -1-

Os deslocamentos (isometrias) de que temos vindo a falar podem ser utilizados em muitos problemas. Um exemplo clássico:
Tomamos uma recta r e dois pontos P e Q de um dos semi-planos determinados por r. Como determinar o ponto N de r, tal que |PN|+|NQ| seja mínimo?

Na ilustração dinâmica seguinte pode mover X sobre a recta r e conjecturar o mínimo que procura. A solução (usando reflexão em relação a r) pode ser vista clicando no botão apropriado.





Tomemos o deslocamento de um dos pontos, por exemplo, Q para Q', por reflexão em relação a r. A recta r é mediatriz do segmento QQ' e, por isso, sabemos que |QN|=|Q'N| e que, como a distância de Q a r é igual à distância de Q' a r, podemos afirmar que |PQ'| (segmento de recta) é a distância mínima procurada. N fica determinado pela intersecção de PQ' com r.

Muitos problemas semelhantes a este podem ser resolvidos com recurso a reflexões que mantêm invariantes as distâncias nos deslocamentos que por via delas se realizem.

Dados dois pontos P e Q, diferentes, situados entre duas rectas r e s. Qual o caminho mais curto, passando por cada uma das rectas r e s, e ligando P a Q?

Reflexões do plano

A composta de duas reflexões em relação a rectas paralelas a e b é uma translação. Pode ver-se na construção dinâmica que se segue. Nesta construção, pode movimentar o triângulo ABC e particularmente ver o que se passa quando ABC está fora da faixa definida pelas rectas a e b. Também pode deslocar as rectas a e b.





A composta de duas reflexões em relação a duas rectas concorrentes a e b é uma rotação, como a construção dinâmica que se segue bem ilustra.



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9.11.09

Composta de reflexões do plano (corrigida)

A composição de duas reflexões do plano não é uma reflexão, embora seja sempre um deslocamento ou isometria (translação, rotação, reflexão e compostas delas) . Apresentamos uma ilustração da composição (ou produto) de reflexões, com a esperança de mostrarmos a composta de duas reflexões do plano como um deslocamento do plano.

Na ilustração dinâmica tomamos duas reflexões a primeira relativamente a uma recta a, que leva A para A', a segunda relativamente a uma recta b, que leva A' para A''. Finalmente, a reflexão em relação à mediatriz de AA'', que leva A directamente para A''. Verá que a reflexão-a leva B para B' e C para C'; a reflexão-b leva B' para B'' e C' para C''. Mas a reflexão que leva de B para B'' não é a mesma que leva de A para A'', etc. De facto, as mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' são distintas. O que quer dizer que não há uma reflexão do plano (3 pontos distintos) que seja a composta das reflexões do plano.

Deslocando as rectas a e b e os pontos A, B e C, pode seguir o que acontece às mediatrizes de AA'', BB'' e CC'' e pode ver o tipo de deslocamento (isometria) que o plano sofre quando lhe aplicamos a reflexão-a seguida da reflexão-b. A posição relativa das rectas a e b determina se a composta é uma translação ou se é uma rotação.


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O conjunto das reflexões do plano não é fechado para o produto ou composição como o definimos aqui. Mas a composta de duas reflexões do plano é um deslocamento do plano.

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8.11.09

Grupo das rotações do plano

Tal como acontece com as translações, também o conjunto das rotações do plano munido da composição (ou produto) é um grupo. O quadro dinâmico que se segue, permite ver uma rotação de centro O e ângulo de 50º a levar A (e um polígono) para A' (no sentido horário, 310º no sentido anti-horário), e uma outra rotação de centro P e ângulo 200º no sentido horário (160º no sentido anti-horário) a levar A' para A''. Pode ver isso clicando na barra de navegação dos passos da construção.
Interessante é perceber como se determina o centro R da rotação (produto das rotações de centros O e P) que leva A directamente para A'', bem como compreender o que se passa com a determinação do ângulo dessa rotação.



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2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção