20.6.09

Conchóide de Sluse

A conchóide de Sluse aparece referida no tratado das curvas de FGT. Conhecíamos outras conchóides que abordaremos certamente e que nos pareciam figuras muito parecidas com a figura desta. Mas desta nunca tínhamos ouvido falar. De Sluse também não.

Tomemos um ponto O e um ponto B livre sobre uma recta (vertical azul). E consideremos sobre a recta OB (verde) um ponto C tal que |OB|.|BC|=k, em que k é uma constante (aqui um dado comprimento). A conchoide de Sluse é o lugar geométrico dos pontos C quando B percorre a recta sobre o qual é livre (a vertical azul).

Na animação que se segue, operamos sobre comprimentos com recurso ao teorema de Thales, como fica ilustrado pela construção auxiliar da esquerda. Pode clicar sobre a construção de modo a parar a animação, e a experimentar variar k ou mesmo a unidade de comprimento.






É sempre interessante saber quem é quem. Quem é Sluse? O que fazia? Onde vivia?
Interessante também é imaginar as relações entre as curvas designadas por conchóides.

16.6.09

Folium Parabólico

Temos dedicado os dias do bloGeometria a publicações de construções sobre triângulos e circunferências. Inicialmente anunciámos que a Enciclopedia delle Matematiche Elementari e Complementi seria o principal suporte à série de construções sobre triângulos. Mas, entretanto, algumas escolhas de construções foram inspiradas em propostas de Quim Castellsaguer, publicadas em Todo Triangulos Web.

Vamos passar agora por um período de lugares geométricos e animações, a partir de F. Gomes Teixeira e o seu "Traité des courbes spéciales remarquables. Imprensa da Universidade. Coimbra: 1908" já antes citado neste lugar geométrico

Começamos com o folium parabolico que no tratado da curvas de Gomes Teixeira é definido analiticamente por equações em coordenadas cartesianas e polares, mas também pela sugestão do lugar geométrico dos pontos M da animação que se segue.





A partir do rectângulo OABC e de D a variar sobre a recta AB, tomem-se todos os raios OD. M é o quarto vértice do rectângulo que tem lado MD, diagonal sobre AB e o vértice E sobre BC.

Um exercício pode consistir em escolher o melhor referencial e determinar as equações em (x,y) ou (ρ, θ) satisfeitas pelos pontos do folium.

5.6.09

Problema de Malfatti

Um dos problemas de construção que ocupou algum tempo a António Aurélio e acabou por ser resolvido por Mariana Sacchetti, seguindo uma construção de Steiner, é conhecido como problema de Malfatti. Desistimos de o colocar como um problema interactivo (está aliás proposto no Geometriagon, como exercício 869), mas aqui o deixamos alinhavado.

O problema de Malfatti é o seguinte:

Num triângulo ABC inscrever três círculos, cada um tangente aos outros dois e a dois lados do triângulo.





A Mariana também estudou e resolveu

  • o chamado problema original de Malfatti (Geometriagon 870)

    Num dado triângulo, inscrever três círculos somando uma área total máxima

  • e o chamado problema dual do problema de Malfatti (Geometriagon 868)

    Dados dois círculos circunscrever-lhes os dois triângulos equiláteros de área mínima.



Aqui ficam os enunciados.

2.6.09

Perspectiva de Mannheim

Sejam A’, B’, C’ os pontos de contacto das três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC com o circuncírculo. Os triângulos ABC e A’B’C’ estão em perspectiva de centro P.



Centro radical das circunferências de Mannheim

O centro radical da três circunferências de Mannheimm do triângulo ABC é um ponto Cr que é colinear com o incentro I e o circuncentro O.



1.6.09

Circunferências de Mannheim

Além da circunferência tangente aos lados de vértice em C, há duas outras: a tangente aos lados de vértice em A e a tangente aos lados de vértice em B.




31.5.09

Das circunferências de Thebault à de Mannheim

Publicamos de novo uma construção recente: as circunferências de Thebault.





Se deslocar o ponto P sobre a recta BC até coincidir com, por exemplo o vértice C, verificará que a circunferência de centro C2 passa a ter raio 0; a circunferência de centro C1 fica tangente aos lados BC e AC e à circunferência circunscrita - é a chamada “circunferência de Mannheim”.

Nota: Os pontos de tangência da Circunferência de Mannheimm aos lados BC e AC são as intersecções com estas rectas da perpendicular à bissectriz do ângulo em C, tirada pelo incentro I de ABC. Porquê?

Com um duplo clique sobre a figura, tem acesso ao GeoGebra e à construção feita para trabalhar sobre ela ou a partir dela.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção