A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

23.2.09

Eixos das elipses de Steiner

As elipses de Steiner têm eixos sobre as mesmas rectas. A recta do eixo secundário (menor) é bissectriz comum aos ângulos LeGSt e OGTy.



19.2.09

Ponto de Tarry

No triângulo ABC , consideremos o diâmetro do circuncírculo que contem o ponto St de Steiner. O outro extremo do diâmetro é o chamado “ponto de Tarry”.



No triângulo ABC , desenhemos a cevianas referentes ao ponto Ty de Tarry. Cada círculo de Neuberg passa por um vértice e tem centro na intersecção da ceviana que passa por esse vértice com a mediariz do lado definido pelos outros dois vértices.


17.2.09

Sobre as elipses de Steiner

A elipse de Steiner circunscrita ao triângulo ABC é a elipse circunscrita de área mínima. Também chamamos elipse de Steiner inscrita à elipse inscrita de área máxima. Ambas são centradas em G e os pontos de tangência da elipse inscrita são os pontos médios dos lados do triângulo.



Ponto de Steiner e recta de Euler

Sejam P e Q os pontos em que a recta de Euler do triângulo ABC intersecta o circuncírculo; H é o ortocentro e Re o retrocentro (conjugado isotómico de H); St é o ponto de Steiner. As três rectas StP, StQ, HRe formam um triângulo rectângulo com o ângulo recto em St.
A elipse circunscrita ao triângulo ABC contém também os vértices do triângulo StMN.
É a chamada "elipse circunscrita de Steiner". Note-se que os simétricos A', B', C' respectivamente de A, B, C são também pontos da elipse; ou seja, o centro da elipse é o baricentro G. De entre as elipses circunscritas, esta goza da propriedade de ter a área mínima.


12.2.09

A recta de Simson a partir do ponto de Steiner

No triângulo ABC tomemos o ponto St e tracemos a sua recta de Simson (definida pelas projecções de de St sobre os lados do triângulo). Determinemos os pontos Br1 e Br2 de Brocard e a recta por eles definida. Verifica-se que as rectas são perpendiculares. Logo a recta de Simson de St e a recta de Brocard (definida por O e Le) são paralelas.


10.2.09

Ponto de Steiner e Recta de Lemoine

No triângulo ABC tomemos o ponto Le de Lemoine e determinemos a sua polar trilinear rLe (a verde cheio). Traçando as três isogonais da recta de Lemoine (uma por vértice do triângulo) verifica-se que elas se intersectam no ponto de Steiner que é o mesmo que dizer que o ponto isogonal do ponto do infinito da recta de Lemoine é o ponto de Steiner.
Traçando uma paralela (a verde tracejado) à recta de Lemoine por qualquer um dos vértices – seja, por exemplo, o vértice A - a sua isogonal -simétrica dessa paralela em relação à bissectriz (amarelo tracejado) - é uma recta (a verde tracejado) que passa pelo ponto St de Steiner.



5.2.09

Da polar trilinear para o pólo

A pedido de um leitor anónimo, apresentamos a resposta à pergunta: Dada uma recta e um triângulo de que ela é polar trilinear, como se determina o pólo correspondente?





Consideramos que a resposta está na entrada Polar trilinear de 9 de Dezembro de 2008. Mas aqui fica tratado o problema posto.


Na construção dinâmica, que pode seguir passo a passo, clicando em "<>" ao cimo, parte-se da polar p e para determinar o pólo P respectivo, seguem-se os passos:

  1. Determinam-se os pontos de intersecção da recta p com os lados do triângulo ABC - Pa', Pb' e Pc'.

  2. O vérice Pc do triângulo ceviano de ABC que procuramos separa harmonicamente os pontos A, B e Pc' e que é colinear com os pontos C e Q, este último a separar harmonicamente os pontos Pa', Pb' e Pc'. A determinação de Pc ou de Q faz-se pela construção de um quadrilátero completo de que CQ é diagonal

  3. Determinado Pc, imediatamente se determinam Pa e Pb tirando as rectas Pa' Pc e Pb'Pc que intersectam os lados de ABC em Pa e Pb. A recta Pc' Pa passa por Pb e, por isso PaPbPc determinam um triângulo inscrito em ABC com lados a intersectar p nos pontos de intersecção desta com o triângulo original.

  4. As cevianas APa, BPb e CPc intersectam-se no pólo P, correspondente à polar trilinear p

4.2.09

Recta de Steiner

Tomemos um ponto P qualquer sobre o circuncírculo; os simétricos Pa, Pb, Pc de P em relação a cada lado são colineares; se P for o ponto de Steiner, a recta obtida é a recta de Steiner.


Na construção dinâmica, que se segue, pode verificar os resultados para qualquer P do circuncírculo e pode deslocá-lo até ser coincidente com o Ponto de Steiner e a recta dos simétricos de P ser a recta de Steiner. Também pode deslocar os vértices do triângulo.


2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

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