9.12.08

Polar trilinear

Há uma homologia que transforma o triângulo ABC no seu triângulo ceviano PaPbPc: o centro é o ponto P, o eixo é a recta p; esta recta é a “polar trilinear” de P em relação a ABC; P é o “pólo trilinear” de p em relação a ABC.

Sejam Pa’ a intersecção de p com a recta BC , Pb’ a intersecção de p com a recta AC, Pc’ a intersecção de p com a recta AB. Verifica-se que:
Pa’ é conjugado harmónico de Pa em relação a B e C
Pb’ é conjugado harmónico de Pb em relação a A e C
Pc’ é conjugado harmónico de Pc em relação a A e B.




Triângulos ceviano e anti-ceviano

No plano do triângulo ABC tomemos um ponto P não pertencente a nenhum dos lados. Seja Pa a intersecção de AP com o lado a, Pb a intersecção de AP com o lado b, Pc a intersecção de AP com o lado c. O triângulo PaPbPc é o “triângulo ceviano” do triângulo ABC em relação ao ponto P.
Se partirmos do triângulo PaPbPc, o triângulo ABC é o seu anticeviano; ou seja, o anticeviano de ABC é um triângulo em relação ao qual ABC é o triângulo ceviano.



Outra propriedade do Ponto de Bevan com círculos

Propriedade:
No triângulo ABC, consideremos o triângulo EaEbEc dos exincentros; por cada um dos seus vértices, tiremos perpendiculares às bissectrizes de ABC: obtém-se o triângulo A*B*C*. Verifica-se que:
- o circuncentro do triângulo A*B*C* é o incentro I do triângulo ABC;
- o centro do círculo de nove pontos do triângulo A*B*C* é o ponto de Bevan do triângulo ABC.




Ponto de Bevan, Circuncentro e Incentro

Propriedade:
De um triângulo qualquer ABC, são colineares o ponto de Bevan, o circuncentro e o incentro. O circuncentro é o ponto médio do segmento de extremos nos ponto de Bevan e incentro.



Ortocentro, pontos de Bevan e Spieker

Propriedade:
Os pontos de Bevan e Spieker são colineares com o ortocentro, sendo o ponto de Spieker médio do segmento que une o ponto de Bevan ao ortocentro.



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2.12.08

Outra determinação do Ponto de Bevan

O circuncentro do triângulo dos exincentros EaEbEc é o ponto de Bevan, o que é o mesmo que dizer que as mediatrizes do triângulo dos exincentros se intersectam no ponto de Bevan.



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Ponto de Bevan

No triângulo ABC, tomemos os três exincentros Ea, Eb, Ec. Por cada um deles tiremos perpendiculares respectivamente aos lados a, b, c. As três perpendiculares intersectam-se num ponto: “ponto de Bevan” Bv.



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27.11.08

Pontos Mediano,Incentro e de Lemoine

Propriedade:

O ponto mediano Md, o incentro I e o ponto simediano K (Lemoine) são colineares.


Pontos Mediano, Spieker e Ortocentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, de Spieker Sp e ortocentro H são colineares.


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25.11.08

Pontos Mediano, Gergonne e Baricentro

Propriedade:
Num triângulo, os pontos mediano Md, baricentro G e de Gergonne Ge são colineares. Verifica-se que d(G, Ge) = 2 d(G, Md).



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Ponto Mediano (?) (mitten punkt, middle point)

Dado o triângulo ABC, tomemos o triângulo IaIbIc dos seus exincentros
Vamos determinar o ponto simediano de IaIbIc; teremos, como se sabe, de determinar as simétricas das medianas em relação às bissectrizes. Como se pode verificar na construção feita em relação ao vértice Ib, a simétrica da mediana IbMb' passa pelo ponto médio Mb do lado b do triângulo ABC. Para obter o ponto semi-mediano de IaIbIc basta, portanto, traçar as rectas IaMa,IbMb, IcMc. O ponto de intersecção destas três cevianas (uma por cada triângulo) é o chamado "ponto mediano" Md.



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20.11.08

Pontos de Feuerbach e Euler

O ponto de Feuerbach é o ponto de reflexão de Euler da recta OI relativamente ao triângulo dos pontos de tangência do incirculo com o triângulo [ABC].
A recta OI é a recta de Euler do triângulo dos pontos de tangência do incírculo com o triângulo [ABC].


Ponto de Euler

No triângulo [ABC], tomemos os centros A', B' e C' dos triângulos equiláteros construídos sobre os seus lados. As quatro circunferências definidas pelos ternos de pontos ABC, A'BC, AB'C e ABC' intersectam-se no ponto E de Euler.

2014
EUCLIDES
Instrumentos e métodos

de resolução de problemas de construção