A não perder:
EDUARDO VELOSO, Uma curva de cada vez..
O caracol de Pascal,
Educação e Matemática, revista da A.P.M, nº 138: 2016
História da Matemática, Curvas, Ferramentas, Tecnologia: para estudar e construir.

4.11.08

Ponto de Exeter

Foi na Phillips Exeter Academy em 1986 que "nasceu" mais este ponto. Obtem-se do seguinte modo:
- dado o triângulo [ABC], traça-se o seu circuncírculo;
- desenha-se o triângulo [A'B'C'] formado pelas tangentes ao circuncírculo nos pontos A, B, C (triângulo tangencial);
- traçam-se as medianas de [ABC] e sejam A'', B'', C'' as intersecções das medianas com o circuncírculo;
- as rectas A'A'', B'B'', C'C'' intersectam-se no "ponto de Exeter", Ex.




Como se verifica na construção, o ponto Ex é o centro de perspectiva dos triângulos [A'B'C'] e [A''B''C''].

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3.11.08

Ponto de Spieker

Construamos o triângulo [MaMbMc] cujos vértices são os pontos médios do triângulo dado [ABC]. O ponto Sp de Spieker é o ponto de intersecção das três bissectrizes internas do triângulo [MaMbMc].






Tracemos as circunferências exinscritas no triângulo ABC; sejam Ea, Eb, Ec os seus centros. Estes três pontos definem uma circunferência. Esta circunferência define, com cada uma das exinscritas, um eixo radical; vamos designá-los por ea, eb, ec. O triângulo formado pelas rectas ea, eb, ec é homotético do triângulo medial de ABC; o centro de homotetia é o ponto de Spiecker.



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28.10.08

Triângulo pedal de um dos pontos de Kenmotu

Tomemos o ponto Ke1 de [ABC] e construamos o seu triângulo pedal [A’B’C’]. Um dos pontos de Vecten deste triângulo obtido com quadrados interiores é o próprio ponto Ke1.
De modo análogo se podia fazer para o triângulo pedal de Ke2.



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27.10.08

Pontos de Kenmotu, Brocard, Beltrami e Schoute

No triângulo ABC, sejam Ke1 e Ke2 os pontos de Kenmotu e Br1 e Br2 os pontos de Brocard. Consideremos uma inversão relativamente ao circuncírculo; sejam K1 e K2 os inversos dos pontos de Kenmotu e B1 e B2 os inversos dos pontos de Brocard (designados por “pontos de Beltrami”).
Os pontos K1, K2, B1, B2 são os vértices de um quadrado. O ponto de intersecção das diagonais é o “ponto de Schoute”, Sch.




Nota: A construção é instável quando os pontos Ke passam de dentro para fora do circuncírculo já que os pontos K da figura são os seus inversos e são calculados para uma das situações.

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Pontos de Kenmotu, Lemoine e circuncentro

No triângulo ABC, sejam O o circuncentro e K o ponto de Lemoine. Estes dois pontos situam-se na recta definida pelos pontos Ke1 e Ke2.
Ke1 e Ke2 separam harmonicamente O e K.



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21.10.08

Pontos de Kenmotu

Tomemos as três cevianas do triângulo ABC que se intersectam em Vc1; as suas conjugadas isogonais intersectam-se num ponto Ke1, isogonal de Vc1 – “primeiro ponto de Kenmotu” . Procedendo de igual modo com Vc2 para determinar o seu isogonal, obtemos o “segundo ponto de Kenmotu”, Ke2. (Apenas se apresenta a construção de Ke1).


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Pontos de Vecten, Lemoine e outro

No triângulo ABC, os pontos K (de Lemoine) e N (centro do círculo de nove pontos) pertencem à recta definida pelos pontos de Vecten; os pontos Vc1 e Vc2 estão harmonicamente separados pelos pontos K e N. (Permitam-nos uma observação pessoal: não é espantosa esta tendência “gregária” dos pontos notáveis de um triângulo?! Há-de haver sempre vários na mesma recta ou na mesma circunferência, ou na mesma cónica e frequentemente a separarem-se em harmonia !).


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15.10.08

Segundo Ponto de Vecten

T omemos agora os centos dos quadrados construídos interiormente sobre os lados a, b, c; sejam Qa, Qb, Qc. As rectas AQa, BQb, CQc intersectam-se num ponto: segundo ponto de Vecten, Vc2.
É o ponto X(486) do catálogo de Kimberling.


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Primeiro Ponto de Vecten

Dado um triângulo ABC, tomemos os centros dos quadrados construídos exteriormente sobre os lados a, b, c; sejam Pa, Pb, Pc. As rectas APa, BPb, CPc intersectam-se num ponto: primeiro ponto de Vecten, Vc1.
É o ponto X(485) do catálogo ETC de Kimberling.


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14.10.08

Segundo triângulo de Brocard

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A1, B1, C1: “círculo de Brocard”. Os três pontos A1, B1, C1 definem o “primeiro triângulo de Brocard”.

As simedianas do triângulo intersectam-se em K, como vimos. E, portanto, intersectam o primeiro círculo de Brocard em K e em mais três pontos: A2, B2, C2. Estes três pontos definem o “segundo triângulo de Brocard”. Estes três pontos também se situam sobre o círculo de Brocard.
O círculo de Brocard é, assim, o “círculo dos dez pontos”: O, K, Br1, Br2, A1, B1, C1, A2, B2, C2.



Os dois triângulos de Brocard são homológicos, por uma homologia de eixo e. O centro da homologia é a intersecção das rectas AIA2, B1B2 e C1C2 que é afinal o centro de gravidade do triângulo ABC.

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10.10.08

Círculo e primeiro triângulo de Brocard

Projectemos o ponto K de Lemoine sobre as mediatrizes dos lados do triângulo: sejam A1, B1, C1 essas projecções.Os triângulos [A1BC], [B1CA], [C1AB] são isósceles (o vértice definido pelos lados iguais pertence à mediatriz da base) e a medida dos ângulos (iguais) da base é u.

Existe uma circunferência de diâmetro [OK] que passa por A1, B1, C1: “círculo de Brocard”. Os três pontos A1, B1, C1 definem o “primeiro triângulo de Brocard”.



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9.10.08

Segundo Ponto de Brocard

Conhecido Br1 - primeiro ponto de Brocard, ficamos a conhecer a medida do ângulo u. Assim podemos determinar a posição do
“segundo ponto de Brocard”, Br2.
Um processo mais expedito para obter Br2 é o seguinte: sabe-se que as projecções ortogonais dos pontos Br 1 e Br2 sobre os lados do triãngulo são concíclicos; projectamos ortogonalmente Br1 sobre a, b, c; a circunferência definida pelos três pontos intersecta a, b, c em outros três pontos que são as projecções de Br2.



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7.10.08

Pontos de BROCARD

Brocard encontrou dois pontos referentes ao triângulo [ABC] (sejam Br1 e Br2), tais que verificam a seguinte propriedade:
São iguais os ângulos <)Br1AB = <)Br1BC =<) Br1CA = <)Br2AC =<) Br2CB = <)Br2BA = u.

O ângulo u é o “ângulo de Brocard”; a recta definida pelos pontos Br1e Br2 é a “recta de Brocard”.




Um dos modos de obter o “primeiro ponto de Brocard”, Br1, é o seguinte:
tracemos três circunferências:
- de corda [AB]; centro na mediatriz de AB; tangente a BC em B;
- de corda [BC]; centro na mediatriz de BC; tangente a AC em C;
- de corda [CA]; centro na mediatriz de CA; tangente a AB em A.
O “primeiro ponto de Brocard” é a intersecção das três circunferências.

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