23.9.08

Outro processo de obter pontos isodinâmicos

Para obter os pontos isodinâmicos de um triângulo ABC, tomemos

  • os simétricos de A relativamente a BC (A2), de B relativamente a AC (B2) e de C relativamente a AB (C2);

  • os ápices dos triângulos equiláteros construídos sobre os lados de ABC, externamente A1, B1 e C1 ou internamente A1*, B1* e C1*



As rectas A1A2, B1B2 e C1C2 encontram-se num dos pontos isodinâmicos de ABC e as rectas A1*A2, B1*B2 e C1*C2 encontram-se no outro.



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17.9.08

Pontos Lemoine e Isodinâmicos

Determinar os pontos de Lemoine e Isodinâmico (primeiro) do triângulo [ABC].

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Mais uma propriedade dos pontos isodinâmicos

As distâncias dos pontos isodinâmicos do triângulo ABC aos vértices são inversamente proporcionais aos comprimentos dos lados opostos.

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9.9.08

Mais propriedades do ponto isodinâmico

Cada ponto isodinâmico forma com os três vértices do triângulo [ABC] um quadrângulo isodinâmico: é constante o produto dos comprimentos dos lados opostos.



O transformado por inversão do triângulo [ABC] em relação a um dos seus pontos isodinâmicos é um triângulo equilátero.



Dado um triângulo ABC e a sua circunferência circunscrita, tomemos para centro de uma projecção um dos pontos W isodinâmicos do triângulo. Nesta projecção, os vértices do triângulo ao serem projectados sobre o circuncírculo dão vértices de um triângulo equilátero.

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PONTOS ISOGÓNICOS. PONTOS ISODINÂMICOS.

Vimos em artigos anteriores que:
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], externamente, três triângulos equiláteros [BCL], [CAM], [ABN], as rectas AL, BM, CN são concorrentes num ponto V (“primeiro ponto de Fermat” ou “ponto de Torricelli” ou "ponto de Viviani") e os segmentos AL, BM, CN são iguais;
construindo sobre os lados de um triângulo [ABC], internamente, três triângulos equiláteros [BCL’], [CAM’], [ABN’], as rectas AL’, BM’, CN’ são concorrentes num ponto V’ (“segundo ponto de Fermat”) e os segmentos AL’, BM’, CN’ são iguais.




Os pontos V e V’ dizem-se “pontos isogónicos” ou “pontos gémeos” ou “pontos de Fermat”.
Se determinarmos os pontos isogonais dos pontos isogónicos obtemos os “pontos isodinâmicos”, W e W’.
As distâncias de W e W’ aos vértices do triângulo são inversamente proporcionais aos lados do triângulo.
Os pontos W e W’ pertencem à recta OK e separam harmonicamente O e K.




Os três círculos de Apolónio relativos ao triângulo passam pelos pontos isodinâmicos.
Este pode ser, portanto, um processo mais expedito para obter W e W’. Recordamos a construção dos círculos de Apolónio: designando, como temos feito, os pés da bissectrizes internas por Ta, Tb, Tc e os pés das bissectrizes externas por Sa, Sb, Sc, os diâmetros dos círculos de Aplónio são TaSa, TbSb, TcSc.



Consideremos apenas os pontos V e W. Seja Va a projecção de V a partir de A sobre BC, Vb a projecção de V a partir de B sobre AC e Vc a projecção de V a partir de C sobre AB. Os pontos V e W são os focos de uma elipse que passa por Va, Vb, Vc.
O mesmo se passa com os pontos V’ e W’.

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30.8.08

Alguns pontos isogonais especiais

O ponto isogonal do ortocentro H é o circuncentro O.




  • O incentro é isogonal de si próprio; o mesmo com os exincentros.


  • O ponto isogonal do ponto de Gergonne, designado por X(55) na Encyclopedia Triangle Centers de Kimberling, é o centro de homotetia interno entre o circuncírculo e o incírculo.




    O ponto isogonal do ponto de Nagel, designado por X(56) na E T C de Kimberling, é o centro de homotetia ex/ul>terno entre o circuncírculo e o incírculo.


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    27.8.08

    Mais propriedades do Ponto Lemoine


    • Sobre os lados de um triângulo, e externamente, construamos três quadrados. As rectas a que pertencem os lados do quadrado paralelos aos lados do triângulo formam um triângulo [A’B’C’]. As rectas AA’, BB’, CC’ intersectam-se em K.




    • O triângulo [ABC] é homológico do triângulo formado pelas tangentes nos vértices ao circuncírculo ; K é o centro de homologia; o eixo é a polar de K em relação ao circuncírculo (logo é perpendicular a OK).





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    Ponto de Lemoine

    Consideremos as três medianas de um triângulo: a sua interseção é o baricentro G. As três simedianas correspondentes intersectam-se no chamado “ponto de Lemoine”. O ponto isogonal do baricentro G é, assim, o ponto K de Lemoine que designaremos por K.



    Como pode ver na construção anterior em que a figura da direita ré obtida, em grande medida, por translação da figura da esquerda, o ponto de Lemoine é a intersecção de três rectas definidas pelos pontos médios dos lados de um triângulo e pelos pontos médios das correspondentes alturas.



    Algumas propriedades do Ponto de Lemoine:


    • As três cevianas que concorrem em K dividem cada lado do triângulo em partes proporcionais aos quadrados dos outros dois lados.

    • A soma dos quadrados das distâncias de K aos lados do triângulo é um mínimo.

    • O lugar dos pontos para os quais é constante a soma dos quadrados das distâncias aos lados do triângulo é um elipse de centro K.

    • As distâncias de K aos lados são proporcionais aos comprimentos dos lados.




    • As projecções ortogonais de K sobre os lados são vértices de um triângulo [KaKbKc] cujo baricentro é K.




    • [KaKbKc] é o triângulo inscrito em [ABC] cuja soma dos quadrados dos lados é mínima.

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    25.8.08

    Rectas e pontos isogonais. Simedianas.

    Duas rectas são “isogonais” se passam pelo mesmo vértice e são simétricas em relação à bissectriz do ângulo interno com esse vértice . Se duas rectas são isogonais, as distâncias dos pontos de uma aos lados do triângulo concorrentes com ele são inversamente proporcionais às distâncias análogas dos pontos da outra.
    As rectas isogonais das medianas dizem-se “simedianas”.




    As três cevianas que passam por um ponto M, têm por isogonais três rectas que passam por um ponto M’; os pontos M e M’ dizem-se isogonais ou inversos. As suas distâncias aos lados do triângulo são, entre si, inversamente proporcionais. De facto designando Ma, Mb, Mc as projecções ortogonais de M respectivamente sobre os lados a, b e c (analogamente para M', M'a, M'b, M'c), obtemos |MMb|.|M'M'b|=|MMc|.|M'M'c|, como pode confirmar na construção que se segue:




    As projecções ortogonais de de dois pontos isogonais sobre os lados do triângulo são seis pontos concíclicos; o ponto médio do segmento [MM’] é o centro desse círculo.



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    2014
    EUCLIDES
    Instrumentos e métodos

    de resolução de problemas de construção