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9.3.07

A recta que intersecta a elipse

Já em tempos apresentámos um processo para determina a intersecção de uma recta com uma elipse (ou hipérbole) que exigia a determinação da excentricidade da cónica tornando-o um tanto penoso. Vejamos um outro processo bem mais simpático, apresentado por Puig Adam, na GEOMETRIA MÉTRICA.



Suponhamos a elipse (ou hipérbole) definida por F, F', 2a. Determinar as intersecções da cónica com a recta r equivale a achar em r os centros das circunferências que passam por F e são tangentes à circunferência focal em F´.
Tomemos o simétrico S de F em relação a r. Toda a circunferência que passa por F e S tem o seu centro em r; reciprocamente, toda a circunferência que passa por F e tem centro em r passa por S. O problema equivale a achar os centros das circunferências que passam por F e S e são tangentes a uma circunferência dada (circunferência focal em F').
Tracemos uma circunferência auxiliar que contenha F e S; sejam M e N as suas intersecções com a circunferência focal; a recta MN é o eixo radical das duas circunferências, enquanto SF é o eixo radical da circunferência auxiliar e da circunferência procurada. O centro radical das três circunferências é o ponto Q de intersecção de MN e RS; por ele passa o eixo radical da circunferência focal e da procurada, pois é a sua tangente comum. Tracemos por Q tangentes à circunferência focal e sejam T1 e T2 os pontos de tangência. Os centros das circunferências FST1 e FST2 são os pontos P1 e P2 de intersecção da recta com a cónica. Note-se que se obtêm facilmente por estarem sobre a recta r e alinhados respectivamente com F'T1 e F'T2.

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