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11.4.05

A potência necessária


Há várias formas para resolver o problema do triângulo de que se conhecem as alturas, mas convém saber como se obtêm diferentes pares de segmentos com o mesmo produto.




Na figura acima, tomámos um ponto P e uma circunferência de centro O (e raio r) e secantes à circunferência tiradas por P, PA e PC.
Os triângulos [PAD] e [PBC] são semelhantes já que o ãngulo P é comum e A=C por serem ângulos inscritos no mesmo arco BD. Podemos escrever imediatamente:
|PD|/|PB| =|PA|/|PC| ou |PD||PC| = |PA||PB|.
Claro que se tomarmos a secante que passa pelo centro da circunferência, temos (|PO|+r)(|PO|-r) = |PD||PC| = |PA||PB|. A este produto constante para cada par (ponto, circunferência), chamamos potência do ponto relativamente à circunferência: |OP|2 - r2.
E se tirarmos por P uma tangente à circunferência. Chamemos T ao ponto de tangência. Que relação haverá entre |PT| e a potência?
Temos estado sempre a pensar em pontos P exteriores à circunferência. Se forem interiores? Se estiverem sobre a circunferência? Ainda antes de termos dado a primeira resposta, estamos cercados de perguntas por todos os lados. Nada melhor que isso.
Já agora como se traça, com régua e compasso, uma tangente a uma circunferência tirada por um ponto dada. E a duas circunferências? Ou três?



Araújo, P. Ventura. Curso de Geometria. Gradiva. Lisboa:1998. pp 133 e seg.

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